47.3 外尔旋量

47.3 外尔旋量

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 不可约表示 · 荷算符 · 复化

对于狄拉克方程的 $m=0$ 情形，结果表明存在一个作用在解空间上的有趣算符：

定义（手性）

该算符

$${\gamma }_5=i{\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$$

称为手性算符。它具有特征值$\pm 1$，其本征态被称为具有手性$ty\pm 1$。手性为$ity+1$的态称为“右手态”，手性为−1的态称为$\cdot \cdot left-hande{d}^{\prime \prime }$

注意，算符 $J_W=-i{\gamma }_5={\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$ 满足 $J_W^2=-1$，并在狄拉克方程实值解的空间 $V$ 上给出一种复结构的选择。我们可以将这些解复化，并写出

$$\mathcal{V}\otimes \mathbf{C}={\mathcal{V}}_L\oplus {\mathcal{V}}_R\text{\hspace{1em}(47.15)}$$

其中 ${\gamma }_L$ 是 $J_W$ 的 $+i$ 特征子空间（负或左手手性解），而 ${\gamma }_R$ 是 $J_W$ 的 −$i$ 特征子空间（正或右手手性解）。

为了处理$J_W$特征向量，方便的做法是选取一组$\gamma -$矩阵，使得${\gamma }_5$为对角矩阵。这无法用实矩阵实现，而需要复化。41.2中已经描述了一种这样的选择，即手征表示或Weyl表示。在这种选择下，$\gamma$矩阵可以写成2乘2分块形式为

$${\gamma }_0=-i\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_1=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ -{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_3=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ -{\sigma }_3& 0\end{array}\right)$$

而手性算符是对角的

$${\gamma }_5=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

因此，我们可以将（复化后的）解用手征本征态表示为

$$\psi =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_L}{{\psi }_R}\right)$$

其中 ${\psi }_L$ 和 ${\psi }_R$ 分别是左旋和右旋手性的二分量波函数。

于是狄拉克方程47.2就是

$$-i\left(\begin{array}{cc}-im& \frac{\partial }{\partial t}+\mathbf{\sigma }\cdot \nabla \\ \frac{\partial }{\partial t}-\mathbf{\sigma }\cdot \nabla & -im\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_L}{{\psi }_R}\right)=0$$

${}_{\mathrm{or}},$ 用二分量函数表示

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}+\mathbf{\sigma }\cdot \nabla \right){\psi }_R=im{\psi }_L$$ $$\left(\frac{\partial }{\partial t}-\mathbf{\sigma }\cdot \nabla \right){\psi }_L=im{\psi }_R$$

当 $m=0$ 时，方程解耦，并且可以一致地仅关注右手或左手解，得到：

定义（Weyl 方程）

二分量旋量的 Weyl 波动方程为

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}+\sigma \cdot \nabla \right){\psi }_R=0\text{\hspace{1em}(47.16)}$$

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}-\mathbf{\sigma }\cdot \nabla \right){\psi }_L=0\text{\hspace{1em}(47.17)}$$

在无质量情形下，手性算符也满足

$$[{\gamma }_5,H_D]=0$$

$(H_D$ 是狄拉克哈密顿算子 47.5），因为对于每个 $j$

$$[{\gamma }_5,{\gamma }_0{\gamma }_j]=0$$

这源于以下事实：将 ${\gamma }_0$ 与 ${\gamma }_5$ 交换给出三个负号，将 ${\gamma }_j$ 与 ${\gamma }_5$ 交换又给出三个负号。在这种情况下，手性是守恒量，而复结构 $J_W=-i{\gamma }_5$ 与 $H_D$ 对易，$J_W$ 随后将正能量解映为正能量解、负能量解映为负能量解，因此与相对论复结构 $J_r$ 对易。

现在我们在 $\nu ,$ 上有两个交换的复结构 $J_W$ 和 $J_r$，它们可以同时对角化（很像 44.1.2 节中的情形）。我们得到一个分解

$${\mathcal{V}}_{J_r}^{+}={\mathcal{H}}_1={\mathcal{H}}_{1,L}\oplus {\mathcal{H}}_{1,R}$$

将正能解分解为 $J_W$ 的特征子空间 $+i({\mathcal{H}}_{1,L})$ 和 $-i({\mathcal{H}}_{1,R})$。限制在方程 47.17 的解上，我们得到一个分解

$${\mathcal{V}}_L={\mathcal{H}}_{1,L}\oplus {\overline{\mathcal{H}}}_{1,L}$$

分成正能和负能的左手解。于是我们可以把外尔旋量域取为二分量的对象

$${\Psi }_L(\mathbf{x}),{\overline{\Psi }}_L(\mathbf{x})$$

它们分别是${\mathcal{H}}_{1,L}$和${\overline{\mathcal{H}}}_{1,L}$的连续基元素。庞加莱群的（双覆盖的）e对依赖于时空的Weyl场的作用将由下式给出

$${\Psi }_L(x)\to (a,\Lambda ){\Psi }_L(x)=S(\Lambda {)}^{-1}{\Psi }_L(\Lambda \cdot x+a)$$

其中 $\Lambda$ 是 $Spin(3,1)$ 的一个元素，而 $S(\mathbf{\Lambda })\in SL(2,\mathbf{C})$ 是 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 表示（见第 41 章，其中 $S(\Lambda )=\Omega )$。$\Lambda \cdot x$ 是 $Spin(3,1)$ 在闵可夫斯基空间向量上的作用量。

正如在马约拉纳情形中一样，用固定时域来参数化解空间无法让人看到推动变换对域的作用。此外，我们知道相对论性域量子化需要使用相对论性复结构 $J_r.$，而这并不能简单地用固定时域来表示。为了解决这两个问题，我们需要在动量空间中研究解。为了在动量空间中找到解，我们进行傅里叶变换，使用

$$\psi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int d^{4}p{e}^{i(-p_{0}t+\mathbf{p}\cdot \mathbf{x})}\tilde{\psi }(p_0,\mathbf{p})$$

并看到外尔方程是

$$(p_0-\sigma \cdot \mathbf{p}){\tilde{\psi }}_R=0$$ $$(p_0+\sigma \cdot \mathbf{p}){\tilde{\psi }}_L=0$$

由于

$$(p_0+\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p})(p_0-\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p})=p_0^2-(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}{)}^2=p_0^2-|\mathbf{p}{|}^2$$

${\tilde{\psi }}_R$ 和 ${\tilde{\psi }}_L$ 都满足

$$(p_0^2-|\mathbf{p}{|}^2)\tilde{\psi }=0$$

因此，支集在正 $\left(p_0=|\mathbf{p}|\right)$ 和负 $\left(p_0=-|\mathbf{p}|\right)$ 能量零锥上的函数，是无质量克莱因-戈尔登方程解的傅里叶变换。

$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x_0^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}\right)\psi =0$$

在二分量形式体系中，可以定义：

定义（螺旋度）

算符

$$\frac{1}{2}\frac{\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}\text{\hspace{1em}(47.18)}$$

在空间 $of$ 上，Weyl 方程的解被称为螺旋度算符。它具有特征值 $\pm \frac{1}{2}$，并且其本征态被称为具有螺旋度 $\pm \frac{1}{2}$

螺旋度算符是自旋算符 $\begin{array}{r}\mathbf{S}=\frac{1}{2}\sigma \end{array}$ 沿粒子动量方向的分量。特征值为 $+\frac{1}{2}$ 的单粒子螺旋度本征态被称为具有“右旋螺旋度”，并被描述为其自旋方向与动量方向相同；螺旋度特征值为 $-\frac{1}{2}$ 的本征态被称为具有“左旋螺旋度 ${\mathrm{ty}}^{,5}$，且自旋方向与动量方向相反。

对于 ${\psi }_L$ 的 Weyl 方程，其连续解基由波函数给出

$$u_L(\mathbf{p})e^{i(-p_0{x}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{x})}$$

其中偏振向量 $u_L(\mathbf{p})\in {\mathbf{C}}^2$ 满足

$$\sigma \cdot \mathbf{p}{u}_L(\mathbf{p})=-p_0{u}_L(\mathbf{p})$$

注意，$u_L(\mathbf{p})$ 是某个依赖于 $p$ 的 $\mathbf{C}\subseteq \zeta$ ${\mathbf{C}}^2$ 子空间的一组相同基元素，该子空间最早出现在第 7.5 节的布洛赫球情形中，后来又出现在泡利方程解的情形中（方程 34.8 的 $u_{-}(\mathbf{p})$ 在正能量时为 $u_L(\mathbf{p})$，方程 34.7 的 $u_{+}(\mathbf{p})$ 在负能量时为 $u_L(\mathbf{p})$）。正能量 $\left(p_0=|\mathbf{p}|\right)$ 解具有负螺旋度，而负能量 $\left(p_0=-|\mathbf{p}|\right)$ 解具有正螺旋度。量子化后，该波动方程导致一个描述无质量左旋螺旋度粒子和右旋螺旋度反粒子的量子场论。与马约拉纳场的情形不同，外尔场理论带有非平凡的内部对称性，这是由于群 $U(1)$ 通过乘以一个相位作用于解，而这允许引入电荷算符。

回忆一下，我们在第42章中对庞加莱e群的不可约表示所做的一般分析表明，我们预期通过考察正、负能量零锥上的函数来找到这样的表示， 取值于$SO(2)$的表示中， 保持向量$p$不变的旋转群。 作用在韦尔方程的解上， 该群的生成元由螺旋度算符给出（方程47.18）。 Weyl 方程的解空间给出了所预期的螺旋度 $\pm \frac{1}{2}$ 的不可约表示，以及正能或负能的不可约表示。

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