14.2 量子动力学

English

第14.1节的讨论仅涉及量子静力学——即量子描述所应置于其中的基本框架。量子系统的动力学演化由厄米算符$H$决定，该算符可能但通常不是时间$H=H(t)$的函数，使得系统任意状态$|\psi (t)⟩$的时间演化为薛定谔方程所给出

$$i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi ⟩=H|\psi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.13)}$$

算符$H$称为哈密顿算子(Hamiltonian)或能量算符。方程(14.13)保证所有内积都被保持，取伴随得到

$$-i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\psi |=⟨\psi |H^{\ast }=⟨\psi |H$$

并且对于任意一对态 $|\psi ⟩$ 和 $|\varphi ⟩$，

$$\begin{array}{c}i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\psi |\varphi ⟩=i\hslash ((\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\psi |)|\varphi ⟩+⟨\psi |(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\varphi ⟩))\\ =-⟨\psi |H|\varphi ⟩+⟨\psi |H|\varphi ⟩=0.\end{array}$$

特别地，归一化条件$\Vert \psi (t)\Vert =\Vert \varphi (t)\Vert =1$在薛定谔方程下保持不变。由于

$$⟨\psi (t)|\varphi (t)⟩=⟨\psi (0)|\varphi (0)⟩$$

对于所有状态对，存在一个酉算符 $U$($t$)，使得

$$|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩.\text{\hspace{1em}(14.14)}$$

若 $H$ 与 $t$ 无关，则

$$U(t)={\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}\text{\hspace{1em}(14.15)}$$

其中指数函数可按第 13 章末尾定理 13.26 之前的评注中所定义的方式定义。若 $H$ 是完备厄米算符 $\begin{array}{r}H={\sum }_n{\lambda }_n|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|\end{array}$，则

$${\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}=\sum _n{\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )\lambda t}|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|$$

而对于一个自伴算符

$$H={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }⟹{\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )\lambda t}\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

为证明式 (14.15)，将式 (14.14) 代入薛定谔方程

$$i\hslash \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}|\psi (0)⟩=HU|\psi (0)⟩,$$

并且由于$|\psi (0)⟩$是任意初始状态向量，

$$i\hslash \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=HU.$$

令 $U(t)={\mathsf{e}}^{(-i/\hslash )Ht}V(t)$（由于算子 ${\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}$ 可逆且其逆为 ${\mathsf{e}}^{(i/\hslash )Ht})$，这总是可能的），我们得到

$${\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}HV(t)+i\hslash {\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}=H{\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}V(t).$$

由于$H$与${\mathrm{e}}^{(-i/\hslash )Ht}$对易，因此在式(14.14)中令$t=0$时，由$U(0)=I$可得$V(t)=const.=V(0)=I$。

海森堡绘景

以上对量子力学系统演化的描述称为薛定谔绘景(Schrödinger picture)。存在一种等价的表述，称为海森堡绘景(Heisenberg picture)，其中态被视为常量，但可观测量经历动力学演化。其思想是对$\mathcal{H},$同时作用于态和算符，施行一个酉变换：

$$\begin{array}{cc}|\psi ⟩\mapsto |{\psi }^{\prime }⟩=U^{\ast }|\psi ⟩& (|\psi ⟩=U|{\psi }^{\prime }⟩)\\ A\mapsto A^{\prime }=U^{\ast }AU,& \end{array}$$

其中 $U$ 由式 (14.15) 给出。该变换的作用是使薛定谔方程的每一个解都静止，因为 $\mathrm{if}|\psi (t)$ 是 $\mathrm{Eq}$ 的一个解。于是式 (14.13)

$$|{\psi }^{\prime }⟩=U^{\ast }|\psi (t)⟩=U^{\ast }U|\psi (0)⟩=|\psi (0)⟩⟹\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|{\psi }^{\prime }(t)⟩=0.$$

它保持所有矩阵元不变，特别地，保持所有期望值不变：

$$⟨A^{\prime }{⟩}_{{\psi }^{\prime }}=⟨{\psi }^{\prime }|A^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩=⟨\psi |U{U}^{\ast }AU{U}^{\ast }|\psi ⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩=⟨A{⟩}_{\psi }.$$

因此在两种图景中，态与可观测量在物理上是等价的。

我们推导海森堡算符$A^{\prime }:$的动力学方程

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{A}^{\prime }& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(U^{\ast }AU)\\ & =\frac{\mathrm{d}{U}^{\ast }}{\mathrm{d}t}AU+U^{\ast }\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}U+U^{\ast }A\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\\ & =\frac{1}{-i\hslash }{U}^{\ast }HAU+U^{\ast }\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}U+\frac{1}{i\hslash }{U}^{\ast }AHU\end{array}$$

因为，由式 (14.15)，

$$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hslash }HU,\frac{\mathrm{d}{U}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{-i\hslash }{U}^{\ast }{H}^{\ast }=\frac{1}{-i\hslash }{U}^{\ast }H.$$

因此

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{A}^{\prime }=\frac{1}{i\hslash }[A^{\prime },H^{\prime }]+\frac{\partial A^{\prime }}{\partial t}\text{\hspace{1em}(14.16)}$$

其中

$$\frac{\partial A^{\prime }}{\partial t}=U^{\ast }\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}U={\left(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\right)}^{\prime }.$$

这种等同的动机如下：如果 $|{\psi }_i⟩$ 是薛定谔绘景中 $\mathcal{H}$ 的一个静止基，从而 $\mathrm{d}|{\psi }_i⟩/\mathrm{d}t=0$，并且如果 $|{\psi }_i^{\prime }⟩=U^{\ast }|{\psi }_i⟩$ 是由它得到的“运动基”，那么

$$⟨{\psi }_i^{\prime }|A^{\prime }|{\psi }_j^{\prime }⟩=⟨{\psi }_i|A|{\psi }_j⟩$$

和

$$⟨{\psi }_i^{\prime }|\frac{\partial A^{\prime }}{\partial t}|{\psi }_j^{\prime }⟩=⟨{\psi }_i|U\frac{\partial A^{\prime }}{\partial t}{U}^{\ast }|{\psi }_j⟩=⟨{\psi }_i|\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}|{\psi }_j⟩=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨{\psi }_i|A|{\psi }_j⟩.$$

因此，$\partial A^{\prime }/\partial t$的矩阵元度量了在薛定谔表示中算符$A$的矩阵元的显式时间变化率。

若 $A$ 是一个没有显式时间依赖性的算符，使得 $\partial A^{\prime }/\partial t=0$ ，则 $A^{\prime }$ 是运动常量，当且仅当它与哈密顿算子对易，$[A^{\prime },H^{\prime }]=0$

$$\frac{\mathrm{d}{A}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=0⟺[A^{\prime }{H}^{\prime }]=[A,H]=0.$$

特别地，由于每个算符都与自身对易，哈密顿算子 $H^{\prime }$ 是运动常量，当且仅当它与时间无关，$\partial H^{\prime }/\partial t=0$

例 14.4

对于电荷为 $e$、质量为 $m$、自旋为 $\frac{1}{2}$ 的电子，记号如例 14.1 所示，其在磁场 $B$ 中的哈密顿算子由下式给出

$$H=\frac{-e\hslash }{2mc}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}.$$

若 $B$ 平行于 $z$ 轴，则 $H=-(e\hslash /2mc){\sigma }_{z}B$，并且令 $|\psi ⟩={\psi }_1(t)|+z⟩+{\psi }_2(t)|-z⟩$，薛定谔方程，即式 (14.13)，可写成两个微分方程

$$i\hslash \mathrm{d}{\dot{\psi }}_1=-\frac{e\hslash }{2mc}B{\psi }_1,i\hslash \mathrm{d}{\dot{\psi }}_2=\frac{e\hslash }{2mc}B{\psi }_2$$

附解答

$${\psi }_1(t)={\psi }_{10}{\mathrm{e}}^{i(\omega /2)t},{\psi }_2(t)={\psi }_{20}{\mathrm{e}}^{-i(\omega /2)t},$$

其中 $\omega =eB/mc$。代入期望值

$$⟨\psi (t)|\sigma |\psi (t)⟩=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \varphi (t)\\ \sin \theta \sin \varphi (t)\\ \cos \theta (t)\end{array}\right)$$

导致 $\theta (t)={\theta }_0=\mathrm{const}$。并且

$$\cos \varphi (t)=\frac{{\mathrm{e}}^{i({\varphi }_0-\omega t)}+{\mathrm{e}}^{-i({\varphi }_0-\omega t)}}{2}=\cos ({\varphi }_0-\omega t).$$

因此 $\varphi (t)={\varphi }_0-\omega t$，且该运动是绕磁场方向的进动，角速度为 $\omega$。

在海森堡绘景中，令 ${\sigma }_x={\sigma }_x(t)$ 等，其中 ${\sigma }_x(0)={\sigma }_1,{\sigma }_y(0)={\sigma }_2,{\sigma }_z(0)={\sigma }_3$ 为泡利值，见式 (14.11)。由对易关系

$$[{\sigma }_1,{\sigma }_2]=2i{\sigma }_3,[{\sigma }_2,{\sigma }_3]=2i{\sigma }_1,[{\sigma }_3,{\sigma }_1]=2i{\sigma }_2\text{\hspace{1em}(14.17)}$$

而${\sigma }_x=U^{\ast }{\sigma }_{1}U$等，由此可得

$$[{\sigma }_x,{\sigma }_y]=2i{\sigma }_z,\text{ etc. }$$

海森堡运动方程是

$$\begin{array}{l}{\dot{\sigma }}_x=\frac{1}{i\hslash }[{\sigma }_x,H]=\omega {\sigma }_y,\\ {\dot{\sigma }}_y=-\omega {\sigma }_x,\\ {\dot{\sigma }}_z=0.\end{array}$$

因此 ${\ddot{\sigma }}_x=\omega {\dot{\sigma }}_y=-{\omega }^2{\sigma }_x$，并且海森堡方程的解为

$${\sigma }_x={\mathsf{Ae}}^{i\omega t}+{\mathsf{Be}}^{-i\omega t},{\sigma }_y=\frac{1}{\omega }{\dot{\sigma }}_x.$$

$2\times 2$ 矩阵 $A$、$B$ 由 $t=0$ 处的初始值计算，得到

$$\begin{array}{c}{\sigma }_x(t)=\cos \omega t{\sigma }_1+\sin \omega t{\sigma }_2,\\ {\sigma }_y(t)=-\sin \omega t{\sigma }_1+\cos \omega t{\sigma }_2\\ {\sigma }_z={\sigma }_3=\text{ const }.\end{array}$$

与经典力学和波动力学的对应关系

对于熟悉哈密顿力学的读者（见 16.5 节），可以在经典力学与量子力学之间建立如下对应关系：

	量子力学	经典力学
状态空间	希尔伯特空间 $\mathcal{H}$	相空间 $\Gamma$
状态	归一化右矢 $|\psi ⟩\in \mathcal{H}$	点 $(q_i,p_j)\in \Gamma$
可观测量	$\mathcal{H}$ 中的自伴算符；在每个状态 $|\psi ⟩$ 中有多个值 ${\lambda }_{b}i$，概率为 $P=⟨{\psi }_i|\psi {⟩}^2$	相空间上的实函数 $f(q_i,p_j)$；每个状态有一个值
对易子	括号对易子 [$A$, $B$]	泊松括号 ($f$, $g$)
动力学	1. 薛定谔绘景 $i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi ⟩=H|\psi ⟩$ 2. 海森堡绘景 $\dot{A}=\frac{1}{i\hslash }[A,H]+\frac{\partial A}{\partial t}$	1. 哈密顿方程 ${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ 2. 泊松括号形式 $\dot{f}=(f,H)+\frac{\partial f}{\partial t}$

若 $f$ 与 $g$ 是经典可观测量，其量子力学对应物为 $F$ 与 $G$，则根据海森堡运动方程，所提出的对应关系是：对易子 $[F,G]$ 对应于 $i\hslash$ 乘以泊松括号，

$$[F,G]⟷i\hslash (f,g)=i\hslash \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right).$$

例如，若 $Q_i$ 是表示经典变量 $q_i$ 的位置算符，而 $P_i=-i\hslash \partial /\partial q_i$ 是动量算符，则经典正则对易关系意味着

$$\begin{array}{l}(q_i,q_j)=0⟹[Q_i,Q_j]=0,\\ (p_i,p_j)=0⟹[P_i,P_j]=0,\\ (q_i,p_j)={\delta }_{ij}⟹[Q_i,P_j]=i\hslash {\delta }_{ij}I.\end{array}$$

从一维情形推广，我们假设 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 中可微函数的集合，使得对于每个 $x_i$，$x_i\psi (x_1,\dots ,x_n)$ 属于 $L^2({\mathbb{R}}^n)$。上述对易关系由标准算符满足：

$$Q_i\psi (x_1,\dots ,x_n)=x_i\psi (x_1,\dots ,x_n),P_i\psi (x_1,\dots ,x_n)=-i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial x_i}.$$

对于处于势 $V(x,y,z)$ 中的粒子，哈密顿算子为 $H={\mathbf{p}}^2/2m+V(x,y,z)$ ，这对应于量子力学薛定谔方程

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V(\mathbf{r})\psi .\text{\hspace{1em}(14.18)}$$

随文练习

证明概率密度 $P(\mathbf{r},t)=\psi \overline{\psi }$ 满足守恒方程

$$\frac{\partial P}{\partial t}=-\nabla \mathbf{J}\text{ where }\mathbf{J}=\frac{i\hslash }{2m}(\psi \nabla \overline{\psi }-\overline{\psi }\nabla \psi ).$$

方程 (14.18) 通过分离变量法的一个试探解 $\psi =T(t)\varphi (\mathbf{x})$ 导致

$$\psi ={\mathrm{e}}^{-i\omega t}\varphi (\mathbf{x})$$

其中 $\varphi (\mathbf{x})$ 满足定态薛定谔方程

$$H\varphi (\mathbf{x})=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\varphi (\mathbf{x})+V(\mathbf{r})\varphi (\mathbf{x})=E\varphi (\mathbf{x})$$

其中 $E$ 由普朗克关系 $E=\hslash \omega =h\nu$ 给出。由其经典类比，哈密顿算符的特征值 $E$ 被解释为系统的能量，并且如果哈密顿算符是具有离散谱 $E_n$ 的完备算符，则薛定谔方程的通解由下式给出

$$\psi (\mathbf{x},t)=\sum _n{c}_n{\varphi }_n(\mathbf{x}){\mathrm{e}}^{-i{E}_{n}t/\hslash }$$

其中

$$H{\varphi }_n(\mathbf{x})=E_n{\varphi }_n(\mathbf{x}).$$

谐振子

经典一维谐振子的哈密顿算子为

$$H_{\mathrm{cl}}=\frac{1}{2m}{p}^2+\frac{k}{2}{q}^2.$$

其在量子力学中的对应物应具有能量算符

$$H=\frac{1}{2m}{P}^2+\frac{k}{2}{Q}^2\text{\hspace{1em}(14.19)}$$

其中

$$P=-i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x},[Q,P]=i\hslash I.$$

集合

$$A=\frac{1}{\sqrt{\omega \hslash }}(\frac{1}{\sqrt{2m}}P+i\sqrt{\frac{k}{2}}Q)$$

其中 $\omega =\sqrt{k/m}$，并且我们发现

$$H=\omega \hslash (N+\frac{1}{2}I)\text{\hspace{1em}(14.20)}$$

其中 $N$ 是自伴算符 $N=A{A}^{\ast }=N^{\ast }$

不难证明

$$[A,A^{\ast }]=A{A}^{\ast }-A^{\ast }A=-I,\text{\hspace{1em}(14.21)}$$

并且由问题14.3中的恒等式可得

$$[N,A]=[A{A}^{\ast },A]=A[A^{\ast },A]+[A,A]A^{\ast }=A,\text{\hspace{1em}(14.22)}$$

$$[N,A^{\ast }]=[A,N^{\ast }{]}^{\ast }=-[N,A{]}^{\ast }=-A^{\ast }.\text{\hspace{1em}(14.23)}$$

$N$ 的所有特征值均非负，$n\ge 0,$，因为若 $N|{\psi }_n⟩=n|{\psi }_n⟩$，则

$$0\le \Vert A^{\ast }{\psi }_n{\Vert }^2=⟨{\psi }_n|A{A}^{\ast }|{\psi }_n⟩=⟨{\psi }_n|N|{\psi }_n⟩=n⟨{\psi }_n|{\psi }_n⟩.\text{\hspace{1em}(14.24)}$$

设 $n_0\ge 0$ 为最低特征值。利用式 (14.23)，态 $A^{\ast }|{\psi }_n⟩$ 是 $N$ 的一个特征态，其特征值为 $(n-1)$ )

$$N{A}^{\ast }|{\psi }_n⟩=(A^{\ast }N-A^{\ast })|{\psi }_n⟩=(n-1)A^{\ast }|{\psi }_n⟩.$$

因此 $A^{\ast }|{\psi }_{n_0}⟩=0$，否则 $n_0-1$ 将成为特征值，与 $n_0$ 为最低值相矛盾；在式 (14.24) 中令 $n=n_0$，得到 $n_0=0$。此外，若 $n$ 是特征值，则 $A|{\psi }_n⟩\ne 0$ 是特征值为 $(n+1)$ 的本征态，因为根据式 式 (14.22) 和 式 (14.21)

$$NA|{\psi }_n⟩=(AN+A)|{\psi }_n⟩=(n+1)|{\psi }_n⟩,$$ $$\Vert A|{\psi }_n⟩{\Vert }^2=⟨{\psi }_n|A^{\ast }A|{\psi }_n⟩=⟨{\psi }_n|A{A}^{\ast }+I|{\psi }_n⟩=(n+1)⟨{\psi }_n|{\psi }_n⟩>0.$$

因此，$N$ 的特征值是 $n=0,1,2,3,...$，而 $H$ 的特征值是 $\frac{1}{2}\hslash \omega .\begin{array}{r}\frac{3}{2}\hslash \omega ,\dots ,(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,\end{array}$。

角动量

类似的分析可用于求角动量算子 $L_i={ϵ}_{ijk}{Q}_j{P}_k$ 的特征值。利用习题 14.3 和 14.4 中的恒等式，可以直接推导出角动量的对易关系

$$[L_i,L_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{L}_k\text{\hspace{1em}(14.25)}$$

和

$$[L^2,L_i]=0\text{\hspace{1em}(14.26)}$$

其中$L^2=(L_1{)}^2+(L_2{)}^2+(L_3{)}^2$是总角动量。

随文练习

证明恒等式 式 (14.25) 和 式 (14.26)。

任意三个满足对易关系式 (14.25) 的算符 $L_1,L_2,L_3$ 都称为 角动量算子(angular momentum operator)。若它们具有形式 $L_i={ϵ}_{ijk}{Q}_j{P}_k$，则称之为 轨道角动量(orbital angular momentum)；否则称为 自旋角动量(spin angular momentum)，或其组合。若令 $J_i=L_1/\hslash$ 和 $J^2=(J_1{)}^2+(J_2{)}^2+(J_3{)}^2$，则

$$[J_i,J_j]=i{ϵ}_{ijk}{J}_k,[J^2,J_i]=0$$

由于 $J_3$ 与 $J^2$ 对易，根据定理 14.2，存在一个公共特征向量集合 $|j^{2}m⟩$，使得

$$J^2|j^{2}m⟩=j^2|j^{2}m⟩,J_3|j^{2}m⟩=m|j^{2}m⟩.$$

因此

$$⟨j^{2}m|J^2|j^{2}m⟩=\sum _{k=1}^3⟨j^{2}m|(J_k{)}^2|j^{2}m⟩=\sum _{k=1}^3\Vert J_k|j^{2}m⟩{\Vert }^2\ge m^2\Vert |j^{2}m⟩{\Vert }^2.$$

由于左边等于 $j^2\Vert |j^{2}m⟩{\Vert }^2$，我们有 $j^2\ge m^2\ge 0$，并且对于任意固定的 $j^2$，特征值 $m$ 都有上界和下界。设这个上界为 $l$。

若我们令 $J_{\pm }=J_1\pm i{J}_2$，则这些恒等式的证明是简单的

$$[J_3,J_{\pm }]=\pm J_{\pm },J_{\pm }{J}_{\mp }=J^2-(J_3{)}^2\pm J_3.\text{\hspace{1em}(14.27)}$$

随文练习

证明恒等式 式 (14.27)。

因此，$J_{\pm }$ 是 $J_3$ 的特征值的升算符和降算符，

$$J_3{J}_{\pm }|j^{2}m⟩=\left(J_{\pm }{J}_3\pm J_{\pm }\right)|j^{2}m⟩=(m\pm 1)J_{\pm }|j^{2}m⟩$$

而它们保持$J^2$的特征值不变，

$$J^2\left(J_{\pm }|j^{2}m⟩\right)=J_{\pm }{J}^2|j^{2}m⟩=j^2{J}_{\pm }{J}^2|j^{2}m⟩.$$

由于 $l$ 是 $m$ 的最大可能值，我们必须有 $J_{\pm }|j^{2}l⟩=0$，并利用式 (14.27) 的第二个恒等式，我们有

$$J_{-}{J}_{+}|j^{2}l⟩=(J^2-(J_3{)}^2-J_3)|j^{2}l⟩=(j^2-l^2-l)|j^{2}l⟩=0,$$

由此得到 $j^2=l(l+1)$。由于对每个整数 $n,(J_{-}{)}^n|j^{2}l⟩$ 都是 $J_3$ 的特征右矢，其特征值为 $(l-n)$，且 $J_3$ 的特征值有下界，因此存在整数 $n$ 使得 $(J_{-}{)}^n|j^{2}l⟩\ne 0$ 和 $(J_{-}{)}^{n+1}|j^{2}l⟩=0$。利用式 (14.27) 我们推得

$$\begin{array}{c}0=J_{+}{J}_{-}(J_{-}{)}^n|j^{2}l⟩=(J^2-(J_3{)}^2\pm J_3)(J_{-}{)}^n|j^{2}l⟩\\ =(j^2-(l-n{)}^2+(l-n)\left)\right(J_{-}{)}^n|j^{2}l⟩\end{array}$$

使得

$$j^2=(l-n)(l-n-1)=l^2+l$$

由此可得 $\begin{array}{r}l=\frac{1}{2}n\end{array}$。因此，总角动量 $L^2$ 的特征值具有 $l(l+1){\hslash }^2$ 的形式，其中 $l$ 取整数值或半整数值。特征子空间是 $(2l+1)$ 重简并的，而 $L_3$ 的共同本征态具有特征值 $m$，其中 $-l\le m\le m$。对于轨道角动量，$l$ 的值总是整数，但自旋本征态可以具有所有可能的特征值 $\begin{array}{r}l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},...\end{array}$，这取决于所考虑的粒子。

习题

习题 14.6

在海森堡绘景中，证明算符$A$的期望值的时间演化为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨A^{\prime }{⟩}_{{\psi }^{\prime }}=\frac{1}{i\hslash }⟨[A^{\prime },H^{\prime }]{⟩}_{{\psi }^{\prime }}+⟨\frac{\partial A^{\prime }}{\partial t}{⟩}_{{\psi }^{\prime }}.$$

在薛定谔绘景中，将 $⟨A{⟩}_{\psi }$ 的时间演化转换为方程

习题 14.7

对于处于磁场中自旋为二分之一的粒子，其哈密顿算子由例14.4给出，证明在海森堡绘景中

$$\begin{array}{l}⟨{\sigma }_x(t){⟩}_{\mathbf{n}}=\sin \theta \cos (\varphi -\omega t),\\ ⟨{\sigma }_y(t){⟩}_{\mathbf{n}}=\sin \theta \sin (\varphi -\omega t),\\ ⟨{\sigma }_z(t){⟩}_{\mathbf{n}}=\cos \theta .\end{array}$$

习题 14.8

质量为 $m$ 的粒子被无限势垒限制在盒子 $0\le x,y,z\le a_{:}$ 内，因此波函数在盒子的边界上为零。证明能级为

$$E=\frac{1}{2m}\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{a^2}\left(n_1^2+n_2^2+n_3^2\right),$$

其中 $n_1,n_2,n_3$ 是正整数，并计算定态波函数 ${\psi }_E(\mathbf{x})$。验证最低能量态是非简并的，而次高能态是三重简并的。

习题 14.9

对于具有哈密顿算子的粒子

$$H=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{x})$$

由海森堡绘景中的运动方程证明

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}⟩=⟨\frac{{\mathbf{p}}^2}{m}⟩-⟨\mathbf{r}\cdot \nabla V⟩.$$

这称为维里定理。对于定态，证明

$$2⟨T⟩=⟨\mathbf{r}\cdot \nabla V⟩$$

其中 $T$ 是动能。如果 $V\propto r^n$，则这简化为经典结果 $⟨2T+nV⟩=0.$

习题 14.10

证明谐振子的第 $n$ 个归一化本征态由下式给出

$$|{\psi }_n⟩=\frac{1}{(n!{)}^{1/2}}{A}^n|{\psi }_0⟩.$$

由$A^{\ast }{\psi }_0=0$证明

$${\psi }_0=c{\mathrm{e}}^{-\sqrt{km}{x}^2/2\hslash }\text{ where }c={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}$$

而第$n$个本征函数是

$${\psi }_n(x)=\frac{i^n}{(2^{n}n!{)}^{1/2}}{\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}{\mathrm{e}}^{-m\omega x^2/2\hslash }{H}_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x\right),$$

其中 $H_n(y)$ 是第 $n$ 个埃尔米特多项式（见例 13.7）。

习题 14.11

对于二维谐振子，定义算符 $A_1,A_2$，使得

$$[A_i,A_j]=[A_i^{\ast },A_j^{\ast }]=0,[A_i,A_j^{\ast }]=-{\delta }_{ij},H=\hslash \omega (2N+I)$$

其中 $i,j=1$、2 和 $N$ 是数算符

$$N=\frac{1}{2}(A_1{A}_1^{\ast }+A_2{A}_2^{\ast }).$$

设 $J_1,J_2$ 和 $J_3$ 为算符

$$J_1=\frac{1}{2}(A_2{A}_1^{\ast }+A_1{A}_2^{\ast }),J_2=\frac{1}{2}i(A_2{A}_1^{\ast }-A_1{A}_2^{\ast }),J_3=\frac{1}{2}(A_1{A}_1^{\ast }-A_2{A}_2^{\ast }),$$

并证明：

(a) $J_i$ 满足角动量对易关系 $[J_1,J_2]=i{J}_3$ 等。

(b) $J^2=J_1^2+J_2^2+J_3^2=N(N+1).$

(c) $[J^2,N]=0,[J_3,N]=0.$

由角动量的性质推导二维谐振子的能级及其简并度。

习题 14.12

证明三维谐振子的特征值具有形式 $\begin{array}{r}(n+\frac{3}{2}.\end{array}$ )-$\omega$，其中 $n$ 为非负整数。证明第 $n$ 个特征值的简并度为 $i\frac{1}{2}(n^2+3n\overline{+}2)$。求出相应的特征函数。