14.3 对称变换

English

考虑由 对称变换(symmetry transformation) 联系的两个观测者 $O$ 与 $O^{\prime }$，例如平移 ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{x}-\mathbf{a}.$，或旋转 ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{A}\mathbf{x}$，其中 ${\mathsf{AA}}^T={\mathsf{I}}_{:}$，等等。对于 $O$ 所对应的任一态射线 $[|\psi ⟩]$，设 $O^{\prime }$ 指定射线 $[|{\psi }^{\prime }⟩]$；对于 $O$ 所指定的任一可观测量自伴算符 $A$，设 $O^{\prime }$ 指定算符 $A^{\prime }.$。由于物理要素由态之间矩阵元的模平方（即态之间的跃迁概率）以及可观测量的期望值确定，所以若

$$|⟨{\varphi }^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩{|}^2=|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2\text{\hspace{1em}(14.28)}$$

$$⟨A^{\prime }{⟩}_{{\psi }^{\prime }}=⟨{\psi }^{\prime }|A^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩=⟨A{⟩}_{\psi }=⟨\psi |A|\psi ⟩\text{\hspace{1em}(14.29)}$$

对于所有态 $|\psi ⟩$ 和可观测量 $A$。

定理 14.3 · 维格纳定理 (Wigner’s theorem)

(维格纳) 一个对所有射线都满足式 (14.28) 的射线对应，在相差一个相位意义下，由一个变换 $U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 生成，该变换要么是酉的，要么是反酉的。

第13章将酉变换定义为保持内积的线性变换，$U(|\psi ⟩+\alpha |\varphi ⟩)=U|\psi ⟩+\alpha U|\varphi ⟩$

$$⟨U\psi |U\varphi ⟩=⟨\psi |\varphi ⟩⟺U{U}^{\ast }=U^{\ast }U=I.$$

称变换 $V$ 为 反线性变换(antilinear transformation)，如果

$$V(|\psi ⟩+\alpha |\varphi ⟩)=V|\psi ⟩+\overline{\alpha }V|\varphi ⟩.$$

伴随 $V^{\ast }$ 由下式定义

$$⟨V^{\ast }\psi |\varphi ⟩=\overline{⟨\psi |V\varphi ⟩}=⟨V\varphi |\psi ⟩,$$

为了使它也是反线性的（此处我们不考虑定义域）。若算符 $V$ 是反线性的且满足 $V^{\ast }V=V{V}^{\ast }=I$ ，则称其为 反酉算子(anti-unitary operator) 。在这种情况下

$$⟨V\psi |V\varphi ⟩=\overline{⟨\psi |\varphi ⟩}=⟨\varphi |\psi ⟩$$

对于所有向量 $|\psi ⟩$ 和 $|\varphi ⟩$。

证明提纲

我们证明维格纳定理在二维希尔伯特空间的情形。完整证明沿类似思路进行。若 $\mathrm{If}|e_1⟩,|e_2⟩$ 是一组正交归一基，则在不计相位的情况下，$|e_1^{\prime }⟩,|e_2^{\prime }⟩$ 也是一组正交归一基，

$${\delta }_{ij}=|⟨e_i|e_j⟩{|}^2=|⟨e_i^{\prime }|e_j^{\prime }⟩{|}^2.$$

设 $|\psi ⟩=a_1|e_1⟩+a_2|e_2⟩$ 为任意单位向量，$⟨\psi \mid \psi ⟩=|a_1{|}^2+|a_2{|}^2=1$ 。令

$$|{\psi }^{\prime }⟩=a_1^{\prime }|e_1^{\prime }⟩+a_2^{\prime }|e_2^{\prime }⟩$$

并且，由式（14.28）可得，

$$|a_1^{\prime }{|}^2=|⟨e_1^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩{|}^2=|⟨e_1|\psi ⟩{|}^2=|a_1{|}^2,$$

类似地，$|a_2^{\prime }{|}^2=|a_2{|}^2$。因此我们可以设定实角$\alpha ,\theta ,\phi$等，使得

$$a_1=\cos \alpha {\mathrm{e}}^{i\theta },a_1^{\prime }=\cos \alpha {\mathrm{e}}^{i{\theta }^{\prime }},$$ $$a_2=\sin \alpha {\mathrm{e}}^{i\phi },a_2^{\prime }=\sin \alpha {\mathrm{e}}^{i{\phi }^{\prime }}.$$

设 $|{\psi }_1⟩$ 与 $|{\psi }_2⟩$ 为任意一对单位向量，

$$|{\psi }_i⟩=\cos {\alpha }_i{\mathrm{e}}^{i{\theta }_1}|e_1⟩+\sin {\alpha }_i{\mathrm{e}}^{i{\phi }_1}|e_2⟩,$$

于是 $|⟨{\psi }_1^{\prime }|{\psi }_2^{\prime }⟩{|}^2=|⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩{|}^2$ 意味着

$$\cos ({\theta }_2^{\prime }-{\phi }_2^{\prime }-{\theta }_1^{\prime }+{\phi }_1^{\prime })=\cos ({\theta }_2-{\phi }_2-{\theta }_1+{\phi }_1).$$

因此

$${\theta }_2^{\prime }-{\phi }_2^{\prime }-({\theta }_1^{\prime }-{\phi }_1^{\prime })=\pm ({\theta }_2-{\phi }_2-({\theta }_1-{\phi }_1)).\text{\hspace{1em}(14.30)}$$

定义一个角 $\delta$，由

$${\theta }_1^{\prime }-{\phi }_1^{\prime }=\delta \pm ({\theta }_1-{\phi }_1),$$

由式 (14.30) 可得

$${\theta }_2^{\prime }-{\phi }_2^{\prime }=\delta \pm ({\theta }_2-{\phi }_2).$$

因此对于任意向量 $|\psi ⟩$

$${\theta }^{\prime }-{\phi }^{\prime }=\delta \pm (\theta -\phi ).$$

对于 + 符号，这导致该变换

$$|\psi ⟩\mapsto |{\psi }^{\prime }⟩={\mathrm{e}}^{i({\phi }^{\prime }-\phi )}\left(a_1{\mathrm{e}}^{i\delta }|e_1^{\prime }⟩+a_2|e_2^{\prime }⟩\right)$$

而对于 - 符号，它是

$$|\psi ⟩\mapsto |{\psi }^{\prime }⟩={\mathrm{e}}^{i({\phi }^{\prime }+\phi )}(\overline{a_1}{\mathrm{e}}^{i\delta }|e_1^{\prime }⟩+\overline{a_2}|e_2^{\prime }⟩).$$

这些变换在相差一个相位 ${\mathrm{e}}^{if}$ 的意义下分别是酉的和反酉的。这就是维格纳定理。-

随文练习

证明相位 $f={\phi }^{\prime }\pm \phi$ 与状态无关。

若$U$是酉变换且$A$是可观测量，则

$$⟨A^{\prime }{⟩}_{{\psi }^{\prime }}=⟨{\psi }^{\prime }|A^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩=⟨\psi |U^{\ast }{\mathrm{e}}^{-if}{A}^{\prime }{\mathrm{e}}^{if}U|\psi ⟩=⟨U^{\ast }{A}^{\prime }U{⟩}_{\psi }$$

而要求式 (14.29) 意味着，当且仅当对任意向量 $|\psi ⟩$ 成立时，此式成立

$$A^{\prime }=UA{U}^{\ast }.$$

相继施行两个对称变换 $g$ 与 $h$，得到 的一个对称变换，满足

$$U(g)U(h)={\mathrm{e}}^{i\phi }U(gh)$$

其中相位$\phi$可能依赖于$g$和$h$。这称为群$G$在希尔伯特空间上的射影表示(projective representation)或射线表示。一般而言，不可能选择相位使得所有${\mathrm{e}}^{i\phi }=1$，从而给出一个真正的表示。对于连续群（见第10.8节），单位元分支$G_0$中的元素必须是酉的，因为它们与恒等元连续相连，而恒等元无疑是酉的。反酉变换只能对应于与恒等元不连续相连的分支中的群元素。

无穷小生成元

若 $G$ 是一个李群，其元素为如 6.5 节所述由一组实参数 $U=U(a_1,\dots ,a_n)$ 刻画且满足 $U(0,\dots ,0)=I$ 的酉变换，则我们通过下式定义 无穷小生成元(infinitesimal generator)：

$$S_j=-i\frac{\partial U}{\partial a_j}{|}_{\mathbf{a}=0}.\text{\hspace{1em}(14.31)}$$

这些是自伴算符，因为$U{U}^{\ast }=I$意味着

$$0={\frac{\partial U}{\partial a_j}|}_{\mathbf{a}=0}+{\frac{\partial U^{\ast }}{\partial a_j}|}_{\mathbf{a}=0}=i(S_j-S_j^{\ast }).$$

注意，自伴算符不构成李代数，因为它们的对易子一般不是自伴的。然而，如第6.5节问题6.12所示，算符$i{S}_j$确实构成一个李代数，

$$[i{S}_i,i{S}_j]=\sum _{k=1}^n{C}_{ij}^{k}i{S}_k.$$

随文练习

证明算符 $S$ 满足 $S^{\ast }=-S$ 当且仅当它具有形式 $S=iA$，其中 $A$ 是自伴的。证明对易子乘积保持该性质。

例 14.5

若 $S$ 是厄米算符，则酉变换的集合 $U(a)={\mathrm{e}}^{iaS}$，其中 $-\infty <a<\infty$，是单参数酉变换群，

$$U(a)U^{\ast }(a)={\mathrm{e}}^{iaS}{\mathrm{e}}^{-iaS}=I,U(a)U(b)={\mathrm{e}}^{iaS}{\mathrm{e}}^{ibS}={\mathrm{e}}^{i(a+b)S}=U(a+b).$$

它的无穷小生成元是

$${-i\frac{\partial }{\partial a}{\mathrm{e}}^{iaS}|}_{a=0}=S.$$

例 14.6

设 $O$ 和 $O^{\prime }$ 为两个观察者，其原点通过向量 $a$ 的位移相联系。设状态向量之间的关系为

$$|{\psi }^{\prime }⟩=T(\mathbf{a})|\psi ⟩.$$

如果 $Q$ 是位置算符，那么

$${\mathbf{q}}^{\prime }=⟨\mathbf{Q}{⟩}_{{\psi }^{\prime }}=⟨{\psi }^{\prime }|\mathbf{Q}|{\psi }^{\prime }⟩=\mathbf{q}-\mathbf{a}=⟨\psi |\mathbf{Q}|\psi ⟩-\mathbf{a}⟨\psi |I|\psi ⟩,$$

因此

$$T^{\ast }(\mathbf{a})\mathbf{Q}T(\mathbf{a})=\mathbf{Q}-\mathbf{a}I.\text{\hspace{1em}(14.32)}$$

在$\mathbf{a}=0$处对$a_i$求偏导数，我们得到

$$-i{S}_i{Q}_j+i{Q}_j{S}_i=-{\delta }_{ij}\text{ where }{S}_j=-i\frac{\partial T}{\partial a_j}{|}_{\mathbf{a}=0}.$$

因此 $[S_i,Q_j]=-i{\delta }_{ij}$，并且我们可以预期

$$S_i=\frac{1}{\hslash }{P}_i$$

其中 $P_i$ 是动量算符

$$P_i=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_i},[Q_i,P_j]=i\hslash {\delta }_{ij}.$$

这与${\mathbf{P}}^{\prime }=\mathbf{P}.$一致，因为

$$T^{\ast }(\mathbf{a})P_{i}T(\mathbf{a})=P_i⟹[S_j,P_i]\propto [P_j,P_i]=0.$$

为求平移算符 $T(\mathbf{a})$，我们利用群性质 $T(\mathbf{a})T(\mathbf{b})=T(\mathbf{a}+\mathbf{b})$，并对 $b_i$ 在 $\mathbf{b}=0$ 1 处求导

$$iT(\mathbf{a})S_i=T(\mathbf{a})\frac{\partial T}{\partial b_i}{|}_{\mathbf{b}=0}=\frac{\partial T}{\partial a_i}(\mathbf{a}).$$

该算符方程的解可以写为

$$\begin{array}{c}T(\mathbf{a})={\mathrm{e}}^{i{\sum }_i{a}_i{S}_i}={\mathrm{e}}^{i\mathbf{a}\cdot \mathbf{S}}\\ ={\mathrm{e}}^{i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hslash }={\mathrm{e}}^{i{a}_1{P}_1/\hslash }{\mathrm{e}}^{i{a}_2{P}_2/\hslash }{\mathrm{e}}^{i{a}_3{P}_3/\hslash }\end{array}$$

因为 $P_i$ 彼此对易。验证式 (14.32) 留作练习（习题 14.14）。

例 14.7

两个观察者之间通过绕$z$轴旋转角度$\theta$相关联

$$q_1^{\prime }=q_1\cos \theta +q_2\sin \theta ,q_2^{\prime }=-q_1\sin \theta +q_2\cos \theta ,q_3^{\prime }=q_3$$

由一个酉算符$R$($\theta$)相联系，使得

$$|{\psi }^{\prime }⟩=R(\theta )|\psi ⟩,R^{\ast }(\theta )R(\theta )=I.$$

为了得到期望值的正确变换，我们要求

$$R^{\ast }(\theta )Q_{1}R(\theta )=Q_1\cos \theta +Q_2\sin \theta ,\text{\hspace{1em}(14.33)}$$

$$R^{\ast }(\theta )Q_{2}R(\theta )=-Q_1\sin \theta +Q_2\cos \theta ,\text{\hspace{1em}(14.34)}$$

$$R^{\ast }(\theta )Q_{3}R(\theta )=Q_3.\text{\hspace{1em}(14.35)}$$

设置

$$J=-i\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}\theta }{|}_{\theta =0},J^{\ast }=J$$

我们在 $\theta =0$ 处对式 (14.33)–式 (14.35) 求导得到

$$[J,Q_1]=i{Q}_2,[J,Q_2]=-i{Q}_1,[J,Q_3]=0.$$

一个解是角动量的$z$分量，

$$J=\frac{1}{\hslash }{L}_3=\frac{1}{\hslash }(Q_1{P}_2-Q_2{P}_1),$$

由于 $[J,Q_1]=i{Q}_2$ 等（见习题 14.4）。

再次容易验证群性质 $R({\theta }_1)R({\theta }_2)=R({\theta }_1+{\theta }_2)$，并且如同上述平移的例子一样，

$$iR(\theta )J=\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}\theta }⟹R\theta ={\mathrm{e}}^{i\theta J}={\mathrm{e}}^{i\theta L_3/\hslash }.$$

再次留作练习，证明该算符满足式 14.33 至式 14.35。对于绕轴 $n$ 的量值为 $\theta$ 的旋转，旋转算符为

$$R(\mathbf{n},\theta )={\mathrm{e}}^{i\theta \mathbf{n}\cdot \mathbf{L}/\hslash }$$

其中 $L$ 是角动量算子，其分量为 $L_i={ϵ}_{ijk}{Q}_j{P}_k$。由于这些算符不对易，满足对易关系式 (14.25)，因此一般有

$$R(\mathbf{n},\theta )\ne {\mathrm{e}}^{i{\theta }_1{L}_1/\hslash }{\mathrm{e}}^{i{\theta }_2{L}_2/\hslash }{\mathrm{e}}^{i{\theta }_3{L}_3/\hslash }.$$

随文练习

证明动量分量在无穷小生成元为 $J$ 的旋转下的变换是

$$[J,P_1]=i{P}_2,[J,P_2]=-i{P}_1,[J,P_3]=0.$$

例 14.8

在时间平移 $t^{\prime }=t-\tau$ 下，我们有 $|{\psi }^{\prime }(t^{\prime })⟩=|\psi (t)⟩$ ，因此

$$|{\psi }^{\prime }(t)⟩=|\psi (t+\tau )⟩=T(\tau )|\psi (t)⟩.$$

因此，由薛定谔方程

$$iS|\psi (t)⟩=\frac{\partial T}{\partial \tau }{|}_{\tau =0}|\psi (t)⟩=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi (t)⟩=\frac{1}{i\hslash }H|\psi (t)⟩.$$

时间平移的无穷小生成元本质上是哈密顿算子，$S=-H/\hslash$。如果哈密顿算子$H$不依赖于时间，

$$T(\tau )={\mathrm{e}}^{-iH\tau /\hslash }.\text{\hspace{1em}(14.36)}$$

守恒量

在一个含时酉变换下

$$|{\psi }^{\prime }⟩=U(t)|\psi ⟩.$$

薛定谔方程，即式（14.13），给出

$$\begin{array}{r}i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|{\psi }^{\prime }⟩=i\hslash \frac{\partial U}{\partial t}|\psi ⟩+i\hslash U(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi ⟩\\ =H^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩\end{array}$$

其中

$$H^{\prime }=UH{U}^{\ast }+i\hslash \frac{\partial U}{\partial t}{U}^{\ast }.\text{\hspace{1em}(14.37)}$$

随文练习

证明在反酉变换下

$$H^{\prime }=-UH{U}^{\ast }+i\hslash \frac{\partial U}{\partial t}{U}^{\ast }.$$

若$H^{\prime }=H$，则称$U$为哈密顿对称性(Hamiltonian symmetry)。然后，将方程(14.37)右乘$U$，得到

$$[U,H]+i\hslash \frac{\partial U}{\partial t}=0.\text{\hspace{1em}(14.38)}$$

若 $U$ 不依赖于时间，则 $U$ 与哈密顿算子对易，$[U,H]=0$

若 $G$ 是 $n$ 参数酉哈密顿对称性 $U(t,a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 的李群，其无穷小生成元为

$$S_i(t)=-i\frac{\partial U}{\partial a_i}{|}_{\mathbf{a}=0},$$

然后对式 (14.38) 关于 $a_i$ 求导，得到

$$[S_i,H]+i\hslash \frac{\partial S_i}{\partial t}=0.\text{\hspace{1em}(14.39)}$$

任何满足此方程的厄米算符 $S(t)$ 都称为 运动常量(constant of the motion) 或守恒量，因为薛定谔方程意味着其期望值恒定：

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨S{⟩}_{\psi }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\psi |S|\psi ⟩=⟨\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}t}|S|\psi ⟩+⟨\psi |S\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial S}{\partial t}|\psi ⟩\\ & =\frac{-1}{i\hslash }⟨\psi |HS|\psi ⟩+\frac{1}{i\hslash }⟨\psi |SH|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial S}{\partial t}|\psi ⟩\\ & =\frac{1}{i\hslash }⟨\psi |[S,H]+i\hslash \frac{\partial S}{\partial t}|\psi ⟩=0.\end{array}$$

随文练习

证明在海森堡绘景中，这等价于

$$\frac{\mathrm{d}{S}_{\mathrm{H}}}{\mathrm{d}t}=0\text{ where }{S}_{\mathrm{H}}={\mathrm{e}}^{-iHt/\hslash }S{\mathrm{e}}^{iHt/\hslash }.$$

由例 14.6 和 14.7 可知，哈密顿算子在平移和旋转下的不变性分别等价于动量守恒和角动量守恒。在这两种情形中，无穷小生成元都与时间无关。如果哈密顿算子在时间平移下不变，其生成元为 $S=-H/\hslash$（见例 14.8），那么式 (14.39) 化为

$$-\frac{1}{\hslash }[H,H]-i\frac{\partial H}{\partial t}=0,$$

当且仅当$H$没有显式时间依赖时成立，$\partial H/\partial t=0$

离散对称性

还有一些更离散性质的重要对称性，如下列例子所示。

例 14.9

考虑一个空间反演 $\mathbf{r}\mapsto {\mathbf{r}}^{\prime }=-\mathbf{r}.$，它可以看作绕 $z$ 轴旋转 $180^{\circ }$ 后再进行反射 $x^{\prime }=x,y^{\prime }=y,z^{\prime }=-z$。设 $\Pi$

为由此类反演在$\mathcal{H}$上诱导的算符，满足

$${\Pi }^{\ast }{Q}_i\Pi =-Q_i,{\Pi }^{\ast }{P}_i\Pi =-P_i.$$

根据维格纳定理，

$${\Pi }^{\ast }[Q_i,P_j]\Pi ={\Pi }^{\ast }i\hslash {\delta }_{ij}\Pi =\{\begin{array}{ll}i\hslash {\delta }_{ij}& \text{ if }\Pi \text{ is unitary },\\ -i\hslash {\delta }_{ij}& \text{ if }\Pi \text{ is anti - unitary }.\end{array}$$

结果表明，! 必须是一个酉算符，因为

$${\Pi }^{\ast }[Q_i,P_j]\Pi =[{\Pi }^{\ast }{Q}_i\Pi ,{\Pi }^{\ast }{P}_j\Pi ]=[-Q_i,-P_j]=[Q_i,P_j]=i\hslash {\delta }_{ij}.$$

另请注意，角动量算子在空间反射下不变，

$${\Pi }^{\ast }{L}_i\Pi =L_i\text{ where }\mathbf{L}=\mathbf{Q}\times \mathbf{P}.$$

由于连续两次反射得到恒等变换 ${\Pi }^2=I_{:}$，故有 ${\Pi }^{\ast }=\Pi$。因此 $\Pi$ 是厄米算符，对应一个称为 奇偶性(parity) 的可观测量，其特征值为 $\pm 1$。特征值为 1 的态 $\Pi |\psi ⟩=|\psi ⟩$ 称为偶宇称态，而特征值为 $-1$ 的态称为奇宇称态，$\Pi |\psi ⟩=-|\psi ⟩$。每个态都可以分解为一个偶宇称态与一个奇宇称态之和，

$$|\psi ⟩=\frac{1}{2}(I+\Pi )|\psi ⟩+\frac{1}{2}(I-\Pi )|\psi ⟩=|{\psi }_{+}⟩+|{\psi }_{-}⟩.$$

随文练习

证明：若 $[\Pi ,H]=0$ ，则任意状态的奇偶性在其运动过程中保持不变，且 $H$ 的具有非简并特征值的本征态具有确定的奇偶性。

例 14.10

在经典物理学中，如果 $q$($t$) 是牛顿方程的一个解，那么反向运动 ${\mathbf{q}}_{\mathrm{rev}}(t)=\mathbf{q}(t)$ 也是，其具有相反的动量 ${\mathbf{p}}_{\mathrm{rev}}(t)=-\mathbf{p}(-t)$ 。如果 $O^{\prime }$ 是一个观察者，其时间方向相对于观察者 $O$ 反向 $t^{\prime }=-t$ ，则令时间反演态为

$$|{\psi }^{\prime }⟩=\Theta |\psi ⟩,$$

其中“ 是时间反演算符。由于我们要求

$${\Theta }^{\ast }{Q}_i\Theta =Q_i,{\Theta }^{\ast }{P}_i\Theta =-P_i$$

与例14.9中类似的讨论给出

$$\begin{array}{r}{\Theta }^{\ast }[Q,P]\Theta ={\Theta }^{\ast }i\hslash I\Theta =\pm i\hslash I\\ =[Q,-P]=-i\hslash I.\end{array}$$

因此，时间反演 ” 是一个反酉算子。

若哈密顿算子 $H$ 在时间反演下不变，即 $[H,\Theta ]=0$ ，则对薛定谔方程 式 (14.13) 应用 ” 得到

$$-i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Theta |\psi (t)⟩=\Theta i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi ⟩=\Theta H|\psi ⟩=H\Theta |\psi (t)⟩.$$

改变时间变量 $t\mathrm{to}-t$

$$i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Theta |\psi (-t)⟩=H\Theta |\psi (-t)⟩.$$

由此可知，$|{\psi }_{\mathrm{rev}}(t)⟩=\Theta |\psi (-t)⟩$ 是薛定谔方程的一个解， 可将其视为时间反演解。 在这个意义上， 量子力学的动力学是时间可逆的， 但请注意，由于算符 $\Theta$ 的反线性性质， 除时间反演外，还需要复共轭。 例如在位置表示中， 若 $\psi (\mathbf{r},t)$ 是薛定谔波动方程式的解，则 (14.18), 那么 $\psi (\mathbf{r},-t)$ 一般不是解。 然而， 取复共轭表明，${\psi }_{\mathrm{rev}}(t)=\psi (\mathbf{r},-t)$ 是方程的解。 (14.18),

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\overline{\psi (\mathbf{r},-t)}=-\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})\right)\overline{\psi (\mathbf{r},-t)}.$$

全同粒子

考虑一个由 $N$ 个全同粒子组成的系统。若每个单粒子的希尔伯特空间为，则我们取整个系统的希尔伯特空间为张量积

$${\mathcal{H}}^N=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}.$$

如同第7章，这可视为由自由形式乘积张成的张量空间

$$|{\psi }_1{\psi }_2\dots {\psi }_N⟩\equiv |{\psi }_1⟩|{\psi }_2⟩\dots |{\psi }_N⟩$$

其中每个 $|{\psi }_i⟩\in \mathcal{H}$，服从等同关系

$$\left(\alpha |{\psi }_1⟩+\beta |\varphi ⟩\right)|{\psi }_2⟩\cdots =\alpha |{\psi }_1⟩|{\psi }_2⟩\cdots +\beta |\varphi ⟩|{\psi }_2⟩\dots ,\text{ etc. }$$

${\mathcal{H}}^N$ 上的内积由下式定义

$$⟨{\psi }_1{\psi }_2\dots {\psi }_N|{\varphi }_1{\varphi }_2\dots {\varphi }_N⟩=⟨{\psi }_1|{\varphi }_1⟩⟨{\psi }_2|{\varphi }_2⟩\dots ⟨{\psi }_N|{\varphi }_N⟩.$$

对每一对 $1\le i<j\le N$，定义置换算符 $P_{ij}:{\mathcal{H}}^N\to {\mathcal{H}}^N$ 为

$$⟨{\varphi }_1\dots {\varphi }_i\dots {\varphi }_j\dots {\varphi }_N|P_{ij}\psi ⟩=⟨{\varphi }_1\dots {\varphi }_j\dots {\varphi }_i\dots {\varphi }_N|\psi ⟩$$

对于所有 $|{\varphi }_i⟩\in \mathcal{H}$。这是一个“交换粒子” $i$ 与 $j$ 的线性算符，

$$P_{ij}|{\psi }_1\dots {\psi }_i\dots {\psi }_j\dots {\psi }_N⟩=|{\psi }_1\dots {\psi }_j\dots {\psi }_i\dots {\psi }_N⟩.$$

$\mathrm{If}|{\psi }_a⟩(a=1,2,...)$ 是希尔伯特空间的一个标准正交基，则所有向量的集合

$$|{\psi }_{a_1}{\psi }_{a_2}\dots {\psi }_{a_N}⟩\equiv |{\psi }_{a_1}⟩|{\psi }_{a_2}⟩\dots |{\psi }_{a_N}⟩$$

构成 ${\mathcal{H}}^N$ 的一组正交归一基。由于 $P_{i}j$ 将任何这样的正交归一基变换为正交归一基，它必定是酉算符。这些结论可推广到一般的置换 $P$，因为它可以写成对换的乘积。

$$P=P_{ij}{P}_{kl}\dots$$

由于不存在探测全同粒子交换的动力学方法，哈密顿算子的期望值必须在置换下保持不变，$⟨H{⟩}_{P\psi }=⟨H{⟩}_{\psi }$，因此

$$⟨\psi |P^{\ast }HP|\psi ⟩=⟨\psi |H|\psi ⟩$$

对于所有 $|\psi ⟩\in \mathcal{H}$。因此 $P^{\ast }HP=H$，并且由于 $P$ 是酉的，$P{P}^{\ast }=I$

$$[H,P]=0.$$

这又是一个离散对称性的例子。在经典力学中，人们理所当然地认为所有粒子都具有个体性，并且原则上是可以区分的。然而，量子力学的基本哲学认为，既然不存在任何物理程序能够对诸如一对电子这样的全同粒子进行“标记”以便追踪它们，那么即使在原则上也不可能有任何方法将它们区分开来。

所有交换都具有性质 $(P_{ij}{)}^2=I$，由此它们必然是厄米的，$P_{ij}=P_{ij}^{\ast }$。因此每个交换都对应一个可观测量。它具有特征值 $ϵ\pm 1$，并且由于 $P_{ij}$ 是运动常量，任何本征态

$$P_{ij}|\psi ⟩=ϵ|\psi ⟩$$

仍是对应同一特征值的本征态，对于

$$ϵ=⟨\psi |P_{ij}|\psi ⟩=⟨P_{ij}{⟩}_{\psi }=const.$$

由于没有物理可观测量能够区分由置换相联系的状态，与用于哈密顿算子的类似论证表明，每个可观测量 $A$ 与所有置换算符对易，

$$[A,P]=0.$$

因此，$\mathrm{if}|\psi$ 是 $A,$ 的非简并本征态，它是每个置换算符 $P_{:}$ 的本征态，

$$\begin{array}{rl}A|\psi ⟩=a|\psi ⟩& ⟹AP|\psi ⟩=PA|\psi ⟩=aP|\psi ⟩\\ & ⟹P|\psi ⟩=p|\psi ⟩\end{array}$$

对于某个因子 $p=\pm 1.\mathrm{If},$，如通常所假设的那样，每个态都可表示为对易的完备可观测量集合 $A$、$B$、$C$、…… 的非简并共同特征向量之和，于是我们必须假设系统的每个物理态 $|\psi ⟩$ 都是所有置换算符的共同特征向量。特别地，对于所有交换 $P_{ij}$

$$P_{ij}|\psi ⟩=p_{ij}|\psi ⟩\text{ where }{p}_{ij}=\pm 1.$$

对于态 $|\psi ⟩$，所有 $p_{ij}$ 都相等，因为对任意一对 $k$、$l$

$$P_{ij}|\psi ⟩=P_{ki}{P}_{lj}{P}_{kl}{P}_{lj}{P}_{ki}|\psi ⟩,$$

由此可得$p_{ij}=p_{kl}$，因为

$$p_{ij}|\psi ⟩=(p_{ki}{)}^2(p_{lj}{)}^2{p}_{kl}|\psi ⟩=p_{kl}|\psi ⟩.$$

因此，对于所有置换，要么 $P|\psi ⟩=|\psi ⟩\mathrm{or}P|\psi ⟩=(-1{)}^P|\psi ⟩$ 。在第一种情形中，$p_{ij}=1$ 该状态称为对称的，这些粒子称为 玻色子(boson) ，或者说服从玻色–爱因斯坦统计。若 $p_{ij}=-1$ 该状态是反对称的，则这些粒子称为 费米子(fermion) ，并服从费米–狄拉克统计。结果表明，玻色子总是整数自旋的粒子，例如光子或介子，而费米子，例如电子或质子，总是具有半整数自旋。这被称为自旋–统计定理，但超出了本书的范围（例如，见 [9]）。

著名的泡利不相容原理断言两个全同费米子不能占据同一状态，因为如果

$$|\psi ⟩=|{\psi }_1⟩\dots |{\psi }_i⟩\dots |{\psi }_j⟩\dots |{\psi }_N⟩$$

并且 $|{\psi }_i⟩=|{\psi }_j⟩$ 那么

$$P_{ij}|\psi ⟩=|\psi ⟩=-|\psi ⟩$$

因为每个状态都具有特征值 1。因此 $|\psi ⟩=0$

习题

习题 14.13

如果算符 $K$ 是关于一个完全正交归一集合的复共轭，

$$K(\sum _i\alpha |e_i⟩)=\sum _i\overline{{\alpha }_i}|e_i⟩,$$

证明每个反酉算子 $V$ 都可写成 $V=UK$ 的形式，其中 $U$ 是酉算符。

习题 14.14

对任意一对算符$A$和$B$，通过对系数进行归纳证明

$${\mathrm{e}}^{aB}A{\mathrm{e}}^{-aB}=A+a[B,A]+\frac{a^2}{2!}[B,[B,A]]+\frac{a^3}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\dots$$

因此证明关系式 式 (14.32) 对 $T(\mathbf{a})={\mathbf{e}}^{i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hslash }$ 成立

习题 14.15

利用问题14.14中的展开式，证明$R(\theta )={\mathbf{e}}^{i\theta L_3/\hslash }$满足方程式 (14.33)–式 (14.35)。

习题 14.16

证明角动量 $\mathbf{L}=\mathbf{Q}\times \mathbf{P}$ 的时间反演为 ${\Theta }^{\ast }{L}_i\Theta =-L_i,$，并且交换关系 $[L_i,L_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{L}_k$ 只有在”是反酉的时候才保持不变。