13.4 Wess-Zumino 一致性条件

13.4.1 Becchi-Rouet-Stora 算子与法捷耶夫-波波夫鬼场

设 $W[\mathcal{A}]$ 为规范群 $G$ 的复表示 $r$ 中外尔费米子的有效作用。上一节中我们看到，在无穷小规范变换 ${\delta }_v\mathcal{A}=-\mathcal{D}v$ 下，$W[\mathcal{A}]$ 的变化由下式给出

$${\delta }_{v}W[\mathcal{A}]=-\int {\left({\mathcal{D}}_{\mu }v\right)}^{\alpha }\frac{\delta }{\delta {\mathcal{A}}_{\mu }^{\alpha }}W[\mathcal{A}]=\int v^{\alpha }{\mathcal{D}}_{\mu }⟨j^{\mu }{⟩}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(13.58)}$$

仿照 Stora（1984）与 Zumino（1985），我们引入 BRS 算子 $\mathcal{S}$ 与法捷耶夫-波波夫鬼场 $\omega$。设 ${\Omega }^m(G)$ 为从 $S^m$ 到 $G$ 的映射之集。除通常的外微分 $\mathrm{d}$ 之外，我们还在 ${\Omega }^m(G)$ 上引入另一个外微分 $\mathcal{S}$，称之为 Becchi-Rouet-Stora（BRS）算子(Becchi-Rouet-Stora operator)。一般地，$\mathcal{S}$ 定义在无穷维空间上，但我们也可以考虑把 $\mathcal{S}$ 限制到 ${\Omega }^m(G)$ 的某个有限维紧子空间上，例如由 ${\lambda }^{\alpha }$ 参数化的 $S^n$。此时 $\mathcal{S}$ 可写成 $\mathcal{S}\equiv \mathrm{d}{\lambda }^{\alpha }\partial /\partial {\lambda }^{\alpha }$。我们要求 $\mathrm{d}$ 与 $\mathcal{S}$ 都是反导数，

$${\mathrm{d}}^2={\mathbb{S}}^2=\mathrm{d}\mathbb{S}+\mathbb{S}\mathrm{d}=0.\text{\hspace{1em}(13.59)}$$

若定义 $\Delta \equiv \mathsf{d}+\mathsf{S}$，则 $\Delta$ 显然是幂零的，

$${\Delta }^2={\mathrm{d}}^2+\mathrm{d}\mathcal{S}+\mathcal{S}\mathrm{d}+{\mathcal{S}}^2=0.\text{\hspace{1em}(13.60)}$$

在 $g=g(x,{\lambda }^{\alpha }),\mathcal{A}$ 的作用下，其变换为

$$\mathcal{A}\to A\equiv g^{-1}(\mathcal{A}+d)g.\text{\hspace{1em}(13.61)}$$

注意，$\mathcal{A}$ 与 $\lambda$ 无关，而 $A$ 则通过 $g$ 依赖于 $\lambda$。定义法捷耶夫-波波夫（FP）鬼场为

$$\omega \equiv g^{-1}\mathcal{S}g.\text{\hspace{1em}(13.62)}$$

可以求得 $\mathcal{S}$ 对 $A$ 与 $\omega$ 的作用为

$$\begin{array}{rl}\mathbb{S}\mathbf{A}& =\mathbb{S}[g^{-1}(\mathcal{A}+\mathrm{d})g]=-g^{-1}\mathbb{S}g\mathbf{A}-g^{-1}\mathcal{A}\mathbb{S}g+g^{-1}\mathbb{S}(\mathrm{d}g)\\ & =-\omega A-(A-g^{-1}dg)\omega -g^{-1}d(\mathcal{S}g)\\ & =-\omega A-A\omega -\mathrm{d}\omega \equiv -{\mathcal{D}}_A\omega \end{array}\text{\hspace{1em}(13.63a)}$$

$$\mathbb{S}\omega =-g^{-1}\mathbb{S}g{g}^{-1}\mathbb{S}g=-{\omega }^2.\text{\hspace{1em}(13.63b)}$$

容易验证，$\mathcal{S}$ 在 $A$ 与 $\omega$ 上是幂零的，因而在 $A$ 与 $\omega$ 的任意多项式上也是幂零的，这正是所要求的；见练习 13.1。定义 $A$ 的场强为

$$\mathbf{F}\equiv \mathrm{d}\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2=g^{-1}\mathcal{T}g.\text{\hspace{1em}(13.64)}$$

我们还定义

$$\mathbb{A}\equiv g^{-1}(\mathcal{A}+\Delta )g=\mathbf{A}+g^{-1}\mathfrak{S}g=\mathbf{A}+\omega \text{\hspace{1em}(13.65a)}$$

$$\mathbb{F}\equiv \Delta \mathbb{A}+{\mathbb{A}}^2=g^{-1}\mathcal{F}g=F\text{\hspace{1em}(13.65b)}$$

其中 (13.65b) 成立是因为 $\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{A}+{\mathcal{A}}^2=\Delta \mathcal{A}+{\mathcal{A}}^2$（注意 $\mathbb{S}\mathcal{A}=0$）。由定理 10.1可知，$\mathbb{A}$ 是主丛上的一个埃雷斯曼联络，而 $\mathbb{F}$ 是与之相伴的曲率二形式。

非阿贝尔反常的存在意味着 $W[A]$ 在BRS 算子 $\mathcal{S}$ 的作用下不为零（$\omega$ 大致对应于 $v$；见(13.39)与 (13.63a)），

$$\mathbb{S}W[\mathbf{A}]=G[\omega ,\mathbf{A}].\text{\hspace{1em}(13.66)}$$

由于 $W[A]$ 与 $\omega$ 无关，$\mathbb{S}$ 只通过 $A$ 起作用。在写下非阿贝尔反常的Wess-Zumino 一致性条件之前，我们先在此停一下，考察 BRS 算子与法捷耶夫-波波夫鬼场的物理意义。

练习 13.1

由(13.63)验证：$\mathcal{S}$ 对 $A$ 与 $\omega$ 的作用是幂零的，

$${\mathcal{S}}^{2}A=0{\mathcal{S}}^2\omega =0.\text{\hspace{1em}(13.67)}$$

13.4.2 BRS 算子、FP 鬼场与模空间

为了弄清 $\mathcal{S}$ 与 $\omega$ 的物理意义，我们需要考察规范场的拓扑（Atiyah and Jones 1978, Singer 1985, Sumitani 1985）。设 $\mathfrak{A}$ 为 $S^m$ 上所有规范势位形的空间。为确定起见，我们取 $m=4$，但推广到任意 $m$ 是显然的。$\mathfrak{A}$ 的拓扑是平凡的，因为对任意两个规范势位形 ${\mathcal{A}}_1$ 与 ${\mathcal{A}}_2$，其组合 $t{\mathcal{A}}_1+(1-t){\mathcal{A}}_2$（$0\le t\le 1$）仍是 $S^4$ 上的规范势。然而要注意，$\mathfrak{A}$ 并不描述规范场论的物理位形空间。我们必须把由 $G$ 规范变换相联系的那些场位形等同起来。设 $\mathfrak{G}$ 为 $S^4$ 上所有规范变换构成的空间（在我们先前的记号中即 $\mathfrak{G}={\Omega }^4(G)$）。于是物理位形空间必须等同于 $\mathfrak{A}/\mathfrak{G}$，它称为规范场论的模空间(moduli space)。我们在10.5 节中已经看到，$S^4$ 上的规范场位形由过渡函数 $g:S^3\to G$ 分类，其中 $S^3$ 是 $S^4$ 的赤道。在目前的情形下，$\mathfrak{A}/\mathfrak{G}$ 由赤道 $S^3\to G$ 上的过渡函数分类，因此

$$\mathfrak{A}/\mathfrak{G}\simeq {\Omega }^3(G).\text{\hspace{1em}(13.68)}$$

因此，$\mathfrak{A}/\mathfrak{G}$ 的每个连通分支都由瞬子数(instanton number) $k$ 标记，该分支记作 ${\Omega }_k^4(G)$。

我们注意到，空间 $\mathfrak{A}$ 带有自然的投影 $\pi :\mathfrak{A}\to \mathfrak{A}/\mathfrak{G}$，并可构成一个以 $\mathfrak{G}$ 为纤维的纤维丛，见图 13.1。设 $a\in \mathfrak{A}$ 为类 $[a]\in \mathfrak{A}/\mathfrak{G}$ 的一个代表元，并设

图 13.1. BRS 算子 $\mathcal{S}$ 是 $\delta$ 沿纤维的限制。

$$\mathcal{A}(x)=g^{-1}(x)\left(a(x)+d\right)g(x)\text{\hspace{1em}(13.69)}$$

为 $[a]$ 中 $\mathfrak{A}$ 的一个元素。我们把 $\mathfrak{A}$ 中的外微分算子记作 $\delta$，它是一个泛函变分，不应与通常的导数 $\mathrm{d}$ 相混淆；参见 Leinaas and Olaussen (1982)。若将 $\delta$ 作用于(13.69)，则可得

$$\begin{array}{rl}\delta \mathcal{A}& =-g^{-1}\delta g\mathcal{A}+g^{-1}\delta ag-g^{-1}a\delta g-g^{-1}d(\delta g)\\ & =g^{-1}\delta ag-\mathrm{d}(g^{-1}\delta g)-g^{-1}\delta g\mathcal{A}-\mathcal{A}{g}^{-1}\delta g\\ & =g^{-1}\delta ag-{\mathcal{D}}_{\mathcal{A}}\left(g^{-1}\delta g\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(13.70)}$$

其中 ${\mathcal{D}}_{\mathcal{A}}=\mathrm{d}+[\mathcal{A},]$。(13.70) 的第一项表示 $\mathcal{A}$ 沿 $\mathfrak{A}/\mathfrak{G}$ 的导数，第二项则表示沿纤维的导数；参见图 13.1。BRS 算子 $\mathcal{S}$ 由变分 $\delta$ 沿纤维的限制得到，

$$\mathcal{S}\mathcal{A}\equiv \delta \mathcal{A}{|}_{\text{纤维}}=-{\mathcal{D}}_{\mathcal{A}}\omega \text{\hspace{1em}(13.71a)}$$

其中 FP 鬼场 $\omega$ 为 $g^{-1}\mathbb{S}g\equiv g^{-1}\delta g{|}_{\mathrm{fibre}}$。我们还得到

$$\mathbb{S}\omega =\delta \omega {|}_{\text{纤维}}=-g^{-1}\mathbb{S}g{g}^{-1}\mathbb{S}g=-{\omega }^2\text{\hspace{1em}(13.71b)}$$

这正好重现了 (13.63a)。

13.4.3 Wess-Zumino 条件

如练习 13.1所示，$\mathcal{S}$ 对 $\mathcal{A}$ 与 $\omega$ 的任意多项式 $f$ 都是幂零的，

$${\mathcal{S}}^{2}f(\omega ,\mathbf{A})=0.\text{\hspace{1em}(13.72)}$$

这种幂零性来自把 $\mathcal{S}$ 解释为外微分算子的要求。特别地，我们应当有

$$\mathbb{S}G[\omega ,A]={\mathbb{S}}^{2}W[A]=0.\text{\hspace{1em}(13.73)}$$

这一条件称为Wess-Zumino 一致性条件（WZ 条件），可用来确定非阿贝尔反常（Wess and Zumino 1971, Stora 1984, Zumino 1985, Zumino et al 1984）。若反常 $G$ 在数学上有良好定义，则 $G$ 应满足 WZ 条件。这一条件非常强，一旦给定 $G[\omega ,A]$ 的第一项，反常就完全被确定下来。

13.4.4 降方程与 WZ 条件的解

Stora（1984）与 Zumino（1985）如下构造了 WZ 条件的解。$(2l+2)$ 维空间中的阿贝尔反常由下式给出

$${\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbf{F})=\frac{1}{(l+1)!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathbf{F}}{2\pi }\right)}^{l+1}\text{\hspace{1em}(13.74)}$$

其中 $F=\mathrm{d}A+A^2$、$A=g^{-1}(\mathcal{A}+\mathrm{d})g$ 如前。设 $Q_{2l+1}(A,F)$ 为 ${\mathrm{ch}}_{l+1}(F)$ 的陈-西蒙斯形式，

$${\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbf{F})=\mathrm{d}{Q}_{2l+1}(\mathbf{A},\mathbf{F}).\text{\hspace{1em}(13.75)}$$

由于三元组 $(\Delta ,\mathbb{A},\mathbb{F})$ 的代数结构与 $(\mathrm{d},A,F)$ 的完全相同，我们同样有

$${\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})=\Delta Q_{2l+1}(\mathbb{A},\mathbb{F})=\Delta Q_{2l+1}(\mathbf{A}+\omega ,\mathbf{F})\text{\hspace{1em}(13.76)}$$

这里我们已注意到 $\mathbb{A}=A+\omega$ 与 $\mathbb{F}=F$。若把 $Q_{2l+1}(\mathbb{A},\mathbb{F})=Q_{2l+1}(A+\omega ,F)$ 按 $\omega$ 的幂展开，便得到

$$\begin{array}{rl}& Q_{2l+1}(\mathbb{A},\mathbb{F})=Q_{2l+1}^0(\mathbf{A},\mathbf{F})+Q_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})+Q_{2l-1}^2(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})\\ & +\cdots +Q_0^{2l+1}(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})\end{array}\text{\hspace{1em}(13.77)}$$

其中 $Q_r^s$ 是 $\omega$ 与 $r+s=2l+1$ 的某阶项。

现在我们注意到 ${\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})={\mathrm{ch}}_{l+1}(F)$，因为 $\mathbb{F}=F=g^{-1}\mathcal{F}g$。用陈-西蒙斯形式表示，这可以写成

$$\Delta Q_{2l+1}(\mathbb{A},\mathbb{F})=\mathrm{d}{Q}_{2l+1}(\mathbf{A},\mathbf{F}).\text{\hspace{1em}(13.78)}$$

将 (13.77) 代入 (13.78)，得到

$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{d}+\mathbb{S})[Q_{2l+1}^0(\mathbf{A},\mathbf{F})+Q_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})\\ & +\cdots +Q_0^{2l+1}(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})]=\mathrm{d}{Q}_{2l+1}^0(\mathbf{A},\mathbf{F}).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.79)}$$

若把 $\omega$ 的同阶项归并在一起，便得到降方程

$$\mathbb{S}{Q}_{2l+1}^0(\mathbf{A},\mathbf{F})+\mathrm{d}{Q}_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=0\text{\hspace{1em}(13.80a)}$$

$$\mathbb{S}{Q}_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})+\mathrm{d}{Q}_{2l-1}^2(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=0\text{\hspace{1em}(13.80b)}$$

$$\mathbb{S}{Q}_1^{2l}(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})+\mathrm{d}{Q}_0^{2l+1}(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=0\text{\hspace{1em}(13.80c)}$$

$$\mathbb{S}{Q}_0^{2l+1}(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=0.\text{\hspace{1em}(13.80d)}$$

这里要注意，$\mathcal{S}$ 使 $\omega$ 的次数增加一，见(13.63)。下面来看 $2l$-形式 $Q_{2l}^1(\omega ,A,F)$。若令

$$G[\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F}]\equiv {\int }_M{Q}_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})\text{\hspace{1em}(13.81)}$$

则 $G[\omega ,A,F]$ 满足Wess-Zumino 一致性条件，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{S}G[\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F}]& ={\int }_M\mathbb{S}{Q}_{2l}^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=-{\int }_M\mathrm{d}{Q}_{2l-1}^2(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})\\ & =-{\int }_{\partial M}{Q}_{2l-1}^2(\omega ,A,F)=0\end{array}$$

这里我们假定 $M$ 没有边界，并利用了 (13.80b)。这表明，一旦求得 $Q_{2l}^1(\omega ,A,F)$，反常 $G[\omega ,A,F]$ 便很容易得到。

命题 13.1

此处定义的 $Q_{2l}^1$ 由下式给出

$$Q_{2l}^1(\omega ,\mathcal{A},\mathfrak{F})={\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^{l+1}\frac{1}{(l-1)!}{\int }_0^1\delta t(1-t)\mathrm{str}\left[\omega \mathrm{d}\left(\mathcal{A}{\mathfrak{F}}_t^{l-1}\right)\right].\text{\hspace{1em}(13.82)}$$

[注：在证明中，我们暂时略去归一化因子 $(\mathrm{i}/2\pi {)}^{l+1}$ 以简化表达式。该因子将在最后重新补回。]

证明

我们从(11.105)出发，

$$Q_{2l+1}(\mathcal{A}+\omega ,\mathcal{F})=\frac{1}{l!}{\int }_0^1\delta t\mathrm{tr}[(\mathcal{A}+\omega ){\hat{\mathcal{F}}}_t^l]$$

其中

$$\begin{array}{rl}& {\hat{\mathcal{F}}}_t\equiv t\mathcal{F}+(t^2-t)(\mathcal{A}+\omega {)}^2\\ & ={\mathcal{F}}_t+(t^2-t)\{\mathcal{A},\omega \}+(t^2-t){\omega }^2\end{array}$$

$${\mathfrak{F}}_t\equiv \mathrm{d}(t\mathcal{A})+(t\mathcal{A}{)}^2.$$

将${\hat{\mathcal{F}}}_t$代入$Q_{2l+1}$，并收集$\omega$的一阶项，得到：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{l!}{\int }_0^1\delta t\mathrm{tr}[\omega {\mathcal{F}}_t^l+(t^2-t)(\mathcal{A}[\mathcal{A},\omega ]{\mathcal{F}}_t^{l-1}+\mathcal{A}{\mathcal{F}}_t[\mathcal{A},\omega ]{\mathcal{F}}_t^{l-2}\\ & +\cdots +{\mathcal{A}\mathcal{F}}_t^{l-1}[\mathcal{A},\omega ])]\\ & =\frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}[\omega {\mathcal{F}}_t^l+(t^2-t)\mathcal{A}({\mathcal{F}}_t^{l-1}[\mathcal{A},\omega ])\\ & +{\mathcal{F}}_t^{l-2}[\mathcal{A},\omega ]{\mathcal{F}}_t+\dots )]\\ & =\frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}[\omega {\mathcal{F}}_t^l+(t^2-t)l\mathcal{A}[\mathcal{A},v]{\mathcal{F}}_t^{l-1}]\\ & =\frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}\left[\omega {\mathfrak{F}}_t^l+l\left(t^2-t\right)\left([\mathcal{A},\mathcal{A}]\omega {\mathfrak{F}}_t^{l-1}+\mathcal{A}\omega [\mathcal{A},{\mathfrak{F}}_t^{l-1}]\right)\right]\\ & =\frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}[\omega \left\{{\mathcal{F}}_t^l+l(t-1)\left(t[\mathcal{A},\mathcal{A}]{\mathcal{F}}_t^{l-1}-\mathcal{A}\left[{\mathcal{A}}_t,{\mathcal{F}}_t^{l-1}\right]\right)\right]\end{array}$$

其中 str 是如(11.8)所定义的对称化迹。现在利用

$${\mathcal{D}}_t{\mathcal{F}}_t^{l-1}\equiv \mathrm{d}{\mathcal{F}}_t^{l-1}+[{\mathcal{A}}_t,{\mathcal{F}}_t^{l-1}]=0$$

$$\frac{\partial {\mathcal{F}}_t}{\partial t}=\mathrm{d}\mathcal{A}+t[\mathcal{A},\mathcal{A}]$$

把上式的最后一行改写为

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}\left[\omega \left\{{\mathcal{F}}_t^l+l(t-1)\left[\left(\frac{\partial {\mathcal{F}}_t}{\partial t}-\mathrm{d}\mathcal{A}\right){\mathcal{F}}_t^{l-1}+\mathcal{A}\mathrm{d}{\mathcal{F}}_t^{l-1}\right]\right\}\right]\\ & =\frac{1}{l!}\int \delta t\mathrm{str}\left[\omega \left\{{\mathcal{F}}_t^l+l(1-t)\mathrm{d}\left({\mathcal{A}\mathcal{F}}_t^{l-1}\right)+(t-1)\frac{\partial {\mathcal{F}}_t^l}{\partial t}\right\}\right].\end{array}$$

分部积分后可得

$$Q_{2l}^1(\omega ,\mathcal{A},\mathcal{F})=\frac{1}{(l-1)!}\int \delta t(1-t)\mathrm{str}[\omega \mathrm{d}(\mathcal{A}{\mathcal{F}}_t^{l-1})].$$

恢复归一化因子后，最终得到

$$Q_{2l}^1(\omega ,\mathcal{A},\mathcal{F})={\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^{l+1}\frac{1}{(l-1)!}{\int }_0^1\delta t(1-t)\mathrm{str}[\omega \mathrm{d}(\mathcal{A}{\mathcal{F}}_t^{l-1})].$$

$\square$

对于 $m=2l=2$ 和 $m=4$，我们有

$$Q_2^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})={\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^2\mathrm{tr}(\omega \mathrm{d}\mathbf{A})\text{\hspace{1em}(13.83a)}$$

$$Q_4^1(\omega ,\mathbf{A},\mathbf{F})=\frac{1}{6}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^3\mathrm{str}\left(\omega \mathrm{d}\left(\mathbf{A}\mathrm{d}\mathbf{A}+\frac{1}{2}{\mathbf{A}}^3\right)\right).\text{\hspace{1em}(13.83b)}$$

这些结果也可由直接计算加以验证。除去归一化因子后，(13.83b) 给出四维空间中的非阿贝尔反常；见(13.56)。

Sumitani (1984) 指出，这里处理非阿贝尔反常的方法带有随意性，并未澄清以下几点：

(1) (13.73) 这一Wess-Zumino 一致性条件并不能确定反常的归一化，而且解的唯一性远非显然。
(2) 我们为什么要从 $(m+2)$ 维空间中的阿贝尔反常出发，这一点并不清楚。

要回答这些问题，我们需要发展一个更为精细的指标定理，即族指标定理；参见 Atiyah and Singer (1984)、Singer (1985) 以及 Sumitani (1984, 1985)。下一节中，我们将紧密依照 Alvarez-Gaume 和 Ginsparg (1984) 的工作，概述物理学家处理这一问题的方法。

尾注

原书尾注 3：正文锚点待核

为简化表达式，我们略去表示指标 $r$。

原书尾注 4：正文锚点待核

集合 ${\Omega }^m(G)$ 不应与 ${\Omega }^m(M)$ 混淆，后者是 $M$ 上的 $m$ 形式构成的集合。二者的区别从上下文中应当可以看清。

来源与版本

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