李代数表示 (Lie algebra representation)

别名：Lie algebra representations

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

类似地，我们也可以把李代数表示(Lie algebra representation)定义为保持李括号的李代数同态：

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Similarly, we can define a Lie algebra representation as a map of Lie algebras that preserves the Lie bracket:

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 李代数表示

定义（李代数表示）。李代数 $\mathfrak{g}$ 在 $n$ 维复向量空间 $V$ 上的一个（复）李代数表示(Lie algebra representation) $(\varphi ,V)$ 由一个实线性映射给出

$$\varphi :X\in \mathfrak{g}\mapsto \varphi (X)\in \mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$$

满足

$$\varphi ([X,Y])=[\varphi (X),\varphi (Y)]$$

如果这样的表示的像包含在 $\mathfrak{u}(n)$ 中，并满足

$$\varphi (X{)}^{†}=-\varphi (X)$$

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

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§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

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§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

对于任意李群 $G$，我们已经看到一个特别的表示，即伴随表示(adjoint representation) $(\mathrm{Ad},\mathfrak{g})$。与之对应的李代数表示(Lie algebra representation)也称为伴随表示，记作 $({\mathrm{Ad}}^{\prime },\mathfrak{g})=(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$。这是因为

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

For any Lie group $G$, we have seen the distinguished representation, the adjoint representation $(\mathrm{Ad},\mathfrak{g})$. The corresponding Lie algebra representation is also called the adjoint representation, written $({\mathrm{Ad}}^{\prime },\mathfrak{g})=(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$. This follows from the fact that

§5.6 · zh-CN · translation · unreviewed

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§5.6 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

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§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

相应的李代数表示为

§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The corresponding Lie algebra representation is given by

§7.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

在第3章中我们看到，一个具有$\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$的一般量子系统可以通过$U(2)$在${\mathbf{C}}^2$上的作用来理解。自伴算符所表示的可观测量(quantum observable)对应于相应的李代数表示(Lie algebra representation)（相差一个因子 $i$）。$U(1)\subset U(2)$子群与所有其他部分对易，可以单独分析，这里我们只考虑$SU(2)$子群。对于任意这样的系统，群$SU(2)$没有特别的几何意义。当它作为旋转群的双覆盖出现时，称该量子系统携带自旋(spin)；特别是，二维不可约表示(irreducible representation)对应自旋 $1/2$（在第8章中我们将讨论更高自旋值的态空间）。

§7.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§25 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

这种方法把经典相空间的酉对称性转化为量子态空间上对称群的酉表示(unitary representation)。本章详细阐述这一方法，既因为它适用于 $d$ 维谐振子这样的简单量子系统，也因为它将成为后续量子场论研究的基础。在量子场论中，我们关注的是李代数表示(Lie algebra representation)中的算符，它们由湮灭算符与产生算符的二次组合构成；这些算符来自本章的构造，而此时相空间上的酉群作用所作用的相空间是无限维的。

§25 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

This method turns unitary symmetries of classical phase space into unitary representations of symmetry groups on quantum state spaces. It is explained in detail here because it applies to simple systems such as the $d$-dimensional harmonic oscillator and will also be fundamental to our later study of quantum field theory. In that setting, the observables of interest are operators in a Lie algebra representation, built from quadratic combinations of annihilation and creation operators. They arise from the constructions in this chapter applied to unitary group actions on phase space, which is infinite-dimensional in quantum field theory.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [方程 5.2](01-lie-algebras#equation-5-2)
• [定理 2.3](../chapter-02/02-the-group-u-1-and-its-representations#theorem-2-3)
• [equation 5.2](01-lie-algebras#equation-5-2)
• [chapter 8](../chapter-08/index#section-8)
• [theorem 2.3](../chapter-02/02-the-group-u-1-and-its-representations#theorem-2-3)
• [第3](../chapter-03/index#section-3)
• [第8](../chapter-08/index#section-8)
• [chapter 3](../chapter-03/index#section-3)
• [chapter 8](../chapter-08/index#section-8)

来源覆盖、定位与记录

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