反对称矩阵 (skew-symmetric matrix)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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因此，当 $G = S O (n)$ 时，李代数 $so (n)$ 由满足 $X^{T} = - X$ 的 $n \times n$ 实反对称矩阵(skew-symmetric matrix)构成，并带有由矩阵对易子给出的双线性、反对称乘积：

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在第 6 章中，我们将详细讨论 $n = 3$ 的情形。此时，李代数 $so (3)$ 可视为 $R^{3}$ ，实现为反对称实 $3 \times 3$ 矩阵构成的空间，其一组基由 $ϵ_{12}, ϵ_{13}, ϵ_{23}$ 给出；这些矩阵是反对称矩阵(skew-symmetric matrix)的例子。

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这些矩阵构成 $C^{n^{2}}$ 的一个实线性子空间，实维数为 $n^{2}$ 。因此， $u (n)$ 是实维数为 $n^{2}$ 的实向量空间，并非由实矩阵构成的空间；其中的矩阵一般含有复数元素。虽然矩阵元素是复数，但只有斜厄米矩阵的实线性组合仍是斜厄米矩阵（乘以 $i$ 会把斜厄米矩阵变为自伴矩阵）。在这组复斜厄米矩阵中，实矩阵构成一个子空间，形成子李代数 $so (n)$ ；它由反对称矩阵(skew-symmetric matrix)构成，也是 $S O (n) \subset U (n)$ 的李代数。