嵌入 (embedding)

Nakahara Definition 5.3：嵌入。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。本书只要求单射浸入，比通常另要求到像的拓扑嵌入更弱；本次保留该书定义。

词性：名词

已登记的原文定义

Nakahara · second-edition-local · §5.2.7 · PDF 第207页

Definition 5.3. (Immersion, submanifold, embedding) Let  $f: M \to N$  be a smooth map and let  $\dim M \leq \dim N$ .

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Nakahara · second-edition-local · §5.2.7 · PDF 第207页

(a) The map  $f$  is called an immersion of  $M$  into  $N$  if  $f_{*}: T_{p}M \to T_{f(p)}N$  is an injection (one to one), that is  $\operatorname{rank} f_{*} = \dim M$ .
(b) The map  $f$  is called an **embedding** if  $f$  is an injection and an immersion. The image  $f(M)$  is called a **submanifold** of  $N$ . [In practice,  $f(M)$  thus defined is diffeomorphic to  $M$ .]

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Nakahara · second-edition-local · §5.2.7 · PDF 第207页 · 定义续文（环境外解释或示例）

If  $f$  is an immersion,  $f^{*}$  maps  $T_{p}M$  isomorphically to an  $m$ -dimensional vector subspace of  $T_{f(p)}N$  since  $\mathrm{rank}f_{*} = \dim M$ . From theorem 2.1, we also find  $\ker f_{*} = \{0\}$ . If  $f$  is an embedding,  $M$  is diffeomorphic to  $f(M)$ . Examples will clarify these rather technical points. Consider a map  $f: S^1 \to \mathbb{R}^2$  in figure 5.11(a). It is an immersion since a one-dimensional tangent space of  $S^1$  is mapped by  $f_{*}$  to a subspace of  $T_{f(p)}\mathbb{R}^2$ . The image  $f(S^1)$  is not a submanifold of  $\mathbb{R}^2$  since  $f$  is not an injection. The map  $g: S^1 \to \mathbb{R}^2$  in figure 5.11(b) is an embedding and  $g(S^1)$  is a submanifold of  $\mathbb{R}^2$ . Clearly, an embedding is an immersion although the converse is not necessarily true. In the previous section, we occasionally mentioned the embedding of  $S^n$  into  $\mathbb{R}^{n + 1}$ . Now this meaning is clear; if  $S^n$  is embedded by  $f: S^n \to \mathbb{R}^{n + 1}$  then  $S^n$  is diffeomorphic to  $f(S^n)$ .

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按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Nakahara · second-edition-local

已登记出处中的最早位置：§2.4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.4	zh-CN · 英文上下文	首次提及（不等于定义）
§5.1	zh-CN · 英文上下文	讨论
§5.2	zh-CN · 英文上下文	定义入口
§5.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7.1	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7.11	zh-CN · 英文上下文	讨论
§8.8	zh-CN · 英文上下文	讨论
§14.2	zh-CN · 英文上下文	讨论

来源短摘录与定位

§2.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

图 2.10 给出了同胚的一些例子。看来无法通过连续形变把图 $2.10 (b)$ 中左边的图形形变为右边的图形。然而，这只是这些对象嵌入在 $R^{3}$ 中所造成的假象。事实上，它们在 $R^{4}$ 中是可以连续形变的，见练习 2.3。为了把两者区分开来，我们必须把它们嵌入到比如 $S^{3}$ 中，并比较这些对象在 $S^{3}$ 中的补集。不过，这种方法超出了本书的范围，我们将满足于同胚。

§5.1 · zh-CN · machine_draft · unreviewed