2.1 流形

我们的故事将在一种称为流形(manifold)的数学对象所构成的舞台上展开。下面我们会给出它的精确定义，但现在你应当把流形想象成一个弯曲的、n 维的空间。无论放大到哪一小块，流形看起来都像 ${\mathbf{R}}^n$。然而，从更全局的角度看，流形可能具有有趣的曲率或拓扑。

一开始，我们的流形几乎没有什么结构。例如，起初我们无法测量点与点之间的距离。但随着讨论的推进，我们会描述各种可以附着在流形上的数学对象，而每一种对象都会让我们能做越来越多的事情。要等到能够测量点与点之间的距离，还得经过一段长得令人意外的时间！（直到第 3 节才行。）

迄今为止的求学过程中，你已经遇到过许多流形，尽管你并没有这样称呼它们。数学中一些简单的例子包括欧几里得空间 ${\mathbf{R}}^n$、球面 ${\mathbf{S}}^n$ 以及环面 ${\mathbf{T}}^n={\mathbf{S}}^1\times \dots \times {\mathbf{S}}^1$。物理学中一些简单的例子包括我们在经典力学中使用的位形空间和相空间，以及热力学的态空间。随着讨论的深入，我们将看到这些学科中熟悉的概念如何用更形式化的语言来表达。归根结底，我们的目标是说明时空是一个流形，并理解其上存在哪些结构。

2.1.1 拓扑空间

甚至在讨论流形之前，为了定义这一底层对象，我们还有一些工作要做。接下来的内容，相当于读一本关于某位有趣人物的传记，却不得不先花上 20 页去了解其祖父母以何为生。这段背景故事对我们的需要而言并不特别有用，我们把它写在这里只是为了完整起见。我们会把它压缩在一页之内。

这段背景故事叫做拓扑空间。粗略地说，它是一个这样的空间：其中每个点都可以看作处在其他点的邻域之中，而这种结构使我们能够定义连续性和收敛这类概念。

定义 拓扑空间

拓扑空间(topological space) M 是一个点集，其上赋予了一个拓扑 T。拓扑是一族开子集 $\{{\mathcal{O}}_{\alpha }\subset M\}$，它们满足：

i) 集合 M 与空集 ∅ 都是开子集：$M\in \tau$ 且 $\varnothing \in \mathcal{T}$

ii) 有限个开集的交集仍是开集。因此，若 ${\mathcal{O}}_1\in \mathcal{T}$ 且 ${\mathcal{O}}_2\in \mathcal{T}$，则 ${\mathcal{O}}_1\cap {\mathcal{O}}_2\in \mathcal{T}$

iii) 任意个（可以是无穷多个）开集的并集仍是开集。因此，若 ${\mathcal{O}}_{\gamma }\in \mathcal{T}$，则 ${\cup }_{\gamma }{\mathcal{O}}_{\gamma }\in \mathcal{T}$

给定一点 $p\in M$，若 $p\in \mathcal{O}$，我们就说 $\mathcal{O}\in \mathcal{T}$ 是 p 的一个邻域。这一概念引出了我们的最后一条要求：我们要求，给定任意两个不同的点，总存在一个邻域，它包含其中一个点而不包含另一个点。换言之，对任意满足 $p\ne q$ 的 $p,q\in M$，都存在 ${\mathcal{O}}_1,{\mathcal{O}}_2\in \mathcal{T}$，使得 $p\in {\mathcal{O}}_1$、$q\in {\mathcal{O}}_2$ 且 ${\mathcal{O}}_1\cap {\mathcal{O}}_2=\varnothing$。满足这一条件的拓扑空间称为豪斯多夫的(Hausdorff)。它就像一道魔法屏障，保护我们免受坏事侵扰。

一个好的豪斯多夫空间的例子是实数轴 $M=\mathbf{R}$，其 T 由所有满足 $a<b\in \mathbf{R}$ 的开区间 $(a,b)$ 以及它们的并集组成。一个非豪斯多夫空间的例子是任意取 $\mathcal{T}=\{M,\varnothing \}$ 的 M。

定义 同胚、单射、满射

再给出一个定义（这不会是最后一个）。拓扑空间 $(M,\tau )$ 与 $(\tilde{M},\tilde{\tau })$ 之间的一个同胚(homeomorphism)，是指一个映射 $f:M\to \tilde{M}$，它满足：

i) 单射的(injective)（或称一一的）：即对 $p\ne q,f(p)\ne f(q)$

ii) 满射的(surjective)（或称映上的）：$f(M)=\tilde{M}$，也就是说，对每个 $\tilde{p}\in \tilde{M}$，都存在一个 $p\in M$，使得 $f(\mathbf{p})=\tilde{\mathbf{p}}.$

既单射又满射的函数称为双射的(bijective)。这保证了它们有逆映射

iii) 双连续的(bicontinuous)。这意味着该函数及其逆映射都是连续的。要定义连续性的概念，我们需要用到拓扑。我们说 $f$ 是连续的，如果对所有 $\tilde{\mathcal{O}}\in \tilde{\mathcal{T}},f^{-1}(\tilde{\mathcal{O}})\in \mathcal{T}$

有一个甜甜圈变成咖啡杯、又变回甜甜圈的动画，常被用来图解拓扑学的思想。如果你想说得花哨一点，可以说甜甜圈与咖啡杯同胚。

2.1.2 可微流形

现在轮到我们的主角登场了：n维流形(n-dimensional manifold)是这样一种空间，它在局部看起来就像 ${\mathbf{R}}^n$。从整体上看，流形可能比 ${\mathbf{R}}^n$ 更有意思，但其基本想法是，我们可以把这些局部描述拼接起来，从而理解整个空间。

定义 可微流形

n维可微流形是一个豪斯多夫拓扑空间M，满足

i) M 在局部与 ${\mathbf{R}}^n$ 同胚。也就是说，对每个 $p\in M$，都存在开集 $\mathcal{O}$，使得 $p\in \mathcal{O}$，并且存在一个同胚 $\varphi :\mathcal{O}\to U$，其中 $U$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的开子集；

ii) 取两个相交的开子集 ${\mathcal{O}}_{\alpha }$ 和 ${\mathcal{O}}_{\beta }$，即 ${\mathcal{O}}_{\alpha }\cap {\mathcal{O}}_{\beta }\ne \varnothing$。我们要求相应的映射 ${\varphi }_{\alpha }:{\mathcal{O}}_{\alpha }\to U_{\alpha }$ 与 ${\varphi }_{\beta }:{\mathcal{O}}_{\beta }\to U_{\beta }$ 相容，也就是说，映射 ${\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\alpha }({\mathcal{O}}_{\alpha }\cap {\mathcal{O}}_{\beta })\to {\varphi }_{\beta }({\mathcal{O}}_{\alpha }\cap {\mathcal{O}}_{\beta })$ 是光滑的（也称为无穷次可微，或 $C^{\infty })$），并且其逆映射也是光滑的。这一点如图 10 所示。

映射 ${\varphi }_{\alpha }$ 称为坐标卡(chart)，坐标卡的全体称为图册(atlas)。应当把每个坐标卡看作是为 ${\mathcal{O}}_{\alpha }$ 这一区域（$M.$ 的一部分）提供了一套坐标系。与 $p\in {\mathcal{O}}_{\alpha }$ 相对应的坐标是

$${\varphi }_{\alpha }(p)=\left(x^1(p),\dots ,x^n(p)\right)$$

我们把这些坐标简记为 $x^{\mu }(p)$，其中 $\mu =1,\dots ,n$。注意我们用的是上标 $\mu$ 而不是下标：这一简单的记号选择在后面的讨论中会很有用。

图 10. 流形上的坐标卡。

如果点 p 属于不止一个子集 O，那么它可能对应着若干个不同的坐标。对此不必紧张：这完全类似于用欧氏坐标或极坐标来标记同一个点。

映射 ${\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}$ 把我们从一个坐标系带到另一个坐标系，称为过渡函数(transition function)。相容性条件的作用正是保证这些不同的坐标系之间不会出现不一致。

任何流形 M 都容许许多不同的图册。特别地，只要新加的坐标卡与所有其他坐标卡都相容，就没有什么能阻止我们把它加入图册。如果两个图册中每一个坐标卡都与另一个图册中的每一个坐标卡相容，就称这两个图册是相容的。此时我们说，这两个图册在流形上定义了同一个可微结构。

例

下面给出几个简单的可微流形的例子：

• $R^n$：它在局部看起来就像 ${\mathbf{R}}^n$，因为它就是 $R^n$。只需一个带有通常欧氏坐标的坐标卡即可。同样，${\mathbf{R}}^n$ 的任意开子集也都是流形。

图 11. 圆周上的两个坐标卡。两幅图有细微的差别！左图中去掉了点 $q$，且 ${\theta }_1\in (0,2\pi )$。右图中去掉了点 $q^{\prime }$，且 ${\theta }_2\in (-\pi ,\pi )$

${\mathbf{S}}^1$：圆周可以定义为 ${\mathbf{R}}^2$ 中坐标为 (cos θ, sin θ) 的一条曲线。在我们的物理学生涯中，迄今为止我们一直乐于把 $\theta \in [0,2\pi )$ 当作 ${\mathbf{S}}^1$ 上的坐标。但这个坐标并不满足成为坐标卡的要求，因为它不是开集。如果我们想在 $\theta =0:$ 处对函数求导，这就会带来问题：为此我们需要从两侧取极限，但不存在比零略小的 θ 坐标。

为了绕开这一点，我们至少需要用两个坐标卡来覆盖 ${\mathbf{S}}^1$。例如，我们可以挑出两个对径点，比如 $q=(1,0)$ 和 $q^{\prime }=(-1,0)$。我们取第一个坐标卡覆盖 ${\mathcal{O}}_1={\mathbf{S}}^1-\{q\}$，其映射为 ${\varphi }_1:{\mathcal{O}}_1\to (0,2\pi )$，由 ${\varphi }_1(p)=\theta$ 定义，如图 11 左图所示。我们取第二个坐标卡覆盖 ${\mathcal{O}}_2={\mathbf{S}}^1-\{q^{\prime }\}$，其映射为 ${\varphi }_2:{\mathcal{O}}_2\to (-\pi ,\pi )$，由 ${\varphi }_2(p)={\theta }^{\prime }$ 定义，如右图所示。

这两个坐标卡在上、下半圆上重叠。其过渡函数为

$${\theta }^{\prime }={\varphi }_2({\varphi }_1^{-1}(\theta ))=\{\begin{array}{cl}\theta & \text{ if }\theta \in (0,\pi )\\ \theta -2\pi & \text{ if }\theta \in (\pi ,2\pi )\end{array}$$

该过渡函数在 $\theta =0$ 处没有定义，这对应于点 $q_1$；在 $\theta =\pi$ 处也没有定义，这对应于点 $q_2$。尽管如此，它在两个开区间上分别都是光滑的，符合要求。

${\mathbf{S}}^2;$ 把球面看作嵌入在欧氏空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中的曲面 $x^2+y^2+z^2=1$ 会很有用。球面 ${\mathbf{S}}^2$ 上熟悉的坐标，是从 ${\mathbf{R}}^3$ 的球极坐标继承而来的坐标，即

$$x=\sin \theta \cos \varphi ,y=\sin \theta \sin \varphi ,z=\cos \theta \text{\hspace{1em}(2.1)}$$

其中 $\theta \in [0,\pi ]$，$\varphi \in [0,2\pi )$。但正如上面讨论过的圆 ${\mathbf{S}}^1$ 一样，这些并不是开集，因此不能满足我们的需要。事实上，这里有两个不同的问题。若着眼于赤道 $\theta =\pi /2$，则坐标 $\varphi \in [0,2\pi )$ 参数化了一个圆，因而带有我们上面看到的同样问题。除此之外，在北极 $\theta =0$ 和南极 $\theta =\pi$ 处，坐标 $\varphi$ 没有良好定义，因为 $\theta$ 的取值已经唯一确定了该点。这一点在地球上的表现就是：所有时区在北极都重合。这也是人们不在那里开商务会议的原因之一。

图 12. 球面上的两个坐标卡。左图中，我们挖去了由 $y=0$ 且 $x>0$ 定义的半个赤道，以红色表示。右图中，我们挖去了 $z=0$ 且 $x<0$ 的半个赤道，同样以红色表示。

我们同样可以通过引入两个覆盖 ${\mathbf{S}}^2$ 上不同区域的坐标卡来解决这些问题。第一个坐标卡适用于挖去了一条经线的球面 ${\mathbf{S}}^2$，该经线由 $y=0$ 和 $x>0$ 定义，如图 12 所示。（可以把它想象成国际日期变更线。）这意味着北极和南极都不包含在开集 ${\mathcal{O}}_1$ 中。在这个开集上，我们用坐标 (2.1) 定义一个映射 ${\varphi }_1:{\mathcal{O}}_1\to {\mathbf{R}}^2$，此时 $\theta \in (0,\pi )$ 且 $\varphi \in (0,2\pi )$，于是我们得到了一个到 ${\mathbf{R}}^2$ 的某个开子集上的映射。

接着，我们在另一个开集 ${\mathcal{O}}_2$ 上定义第二个坐标卡，该开集定义为球面 ${\mathbf{S}}^2$ 挖去直线 $z=0$ 和 $x<0$ 后的部分。在这里，我们用坐标定义一个映射 ${\varphi }_2:{\mathcal{O}}_2\to {\mathbf{R}}^2$

$$x=-\sin {\theta }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime },y=\cos {\theta }^{\prime },z=\sin {\theta }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }$$

其中 ${\theta }^{\prime }\in (0,\pi )$，$\varphi \in (0,2\pi )$。这同样是一个到 ${\mathbf{R}}^2$ 的某个开子集上的映射。我们有 ${\mathcal{O}}_1\cup {\mathcal{O}}_2={\mathbf{S}}^2$；而在重叠区域 ${\mathcal{O}}_1\cap {\mathcal{O}}_2$ 上，过渡函数 ${\varphi }_1\circ {\varphi }_2^{-1}$ 和 ${\varphi }_2\circ {\varphi }_1^{-1}$ 都是光滑的。（我们并没有显式写出这些函数，但显然它们是由 cos 和 sin 函数在各自反函数存在的区域上作用而构成的。）

注意，在上面 ${\mathbf{S}}^1$ 和 ${\mathbf{S}}^2$ 这两个例子中，我们都利用了它们可以看作嵌入在更高维的 ${\mathbf{R}}^{n+1}$ 中这一事实来构造坐标卡。然而，这并非必要。流形的定义根本没有提到更高维的嵌入，因此应当把这些流形看作独立于任何嵌入而存在。

可以看到，描述这些坐标卡确实需要一定程度的繁琐。（数学家更愿意用“严格”这个词。）只有当流形的拓扑学性质不平凡时，才需要处理多个坐标卡；我们上面遇到的${\mathbf{S}}^1$和${\mathbf{S}}^2$就是格外简单的例子。等到讨论广义相对论时，我们会非常关心坐标的变换以及某些坐标系的局限，但那时我们的流形会足够简单，以至于就一切实际用途而言，我们总能找到单一的一组坐标，足以告诉我们所需知道的一切。不过，随着我们在物理学中不断深入，拓扑学变得愈发重要，不同坐标卡这一观念也随之变得重要。在物理学中，重叠的坐标卡成为讨论中不可或缺的一部分，也许最早出现的地方就是磁单极子的构造。（参见规范场论的讲义。）

2.1.3 流形之间的映射

把流形局部地映射到 ${\mathbf{R}}^n$ 的好处在于，我们现在可以把在 ${\mathbf{R}}^n$ 上做数学运算的知识搬过来。例如，我们知道如何对 ${\mathbf{R}}^n$ 上的函数求导，也知道函数光滑意味着什么。这便直接转化为定义在流形上的函数的性质。

我们说函数 $f:M\to \mathbf{R}$ 是光滑的(smooth)，如果对所有的坐标卡 $\varphi .$，映射 $f\circ {\varphi }^{-1}:U\to \mathbf{R}$ 都是光滑的。

类似地，我们说两个流形 M 与 N（它们的维数可以不同）之间的映射 $f:M\to N$ 是光滑的，如果对所有的坐标卡 $\varphi :M\to U\subset {\mathbf{R}}^{\dim (M)}$ 和 $\psi :N\to V\subset {\mathbf{R}}^{\dim (N)}$，映射 ψ ◦ $f\circ {\varphi }^{-1}:U\to V$ 都是光滑的。

微分同胚(diffeomorphism)定义为光滑的同胚 $f:M\to N$。换言之，它是流形 M 与 N 之间可逆的光滑映射，且其逆映射也光滑。如果存在这样的微分同胚，就称流形 M 与 N 是微分同胚的。逆映射的存在意味着 M 与 N 必然具有相同的维数。

彼此同胚的流形可以连续形变为对方。但微分同胚是更强的要求：它要求映射及其逆映射都光滑。由此产生了一些奇特的现象。例如，事实证明球面 ${\mathbf{S}}^7$ 可以被若干互不相容的图册所覆盖，由此得到的流形彼此同胚却不微分同胚，它们被称为怪球(exotic sphere)。类似地，欧氏空间 ${\mathbf{R}}^n$ 具有唯一的可微结构，唯独 ${\mathbf{R}}^4$ 例外，它上面有无穷多个互不等价的微分结构。据我所知，怪球在物理学中只有一个应用（超弦理论中一种微妙的整体引力反常），而 ${\mathbf{R}}^4$ 上的奇异微分结构则没有任何应用。当然，这些内容在本讲义中不会起任何作用。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

来源 PDF SHA-256：3ba65dc61f22a69c7d5fdf3e8e1f641efbfa6cf49a44b3dcb0fd5367ba9fcf1c

OCR 来源 SHA-256：f58e775c8ca9f14ce79c624d8e60dcf8f6b8feacb94e5342e9bfd0dc174328a5

译稿产物 SHA-256：beb3f480a9612e7cba855eac9d1db15972fffd44e7156baac3a0cd8e728976c8