群作用 (group action)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§7.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

若矩阵行列式非零，相应变换便可逆。这些保角变换称为莫比乌斯变换(Möbius transformation)。在第 40 章中，我们会看到这种群作用(group action)出现在狭义相对论中；它对球面的作用可以理解为对光线空间的变换。当矩阵属于 $SU(2)$ 时，其元素满足 $\gamma =-\overline{\beta }$、$\delta =\overline{\alpha }$ 以及 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。此时球面上的对应变换就是 ${\mathbf{R}}^3$ 中球面的旋转。这也从另一角度说明 $SU(2)=\mathrm{Spin}(3)$ 是旋转群 $SO(3)$ 的双覆盖。

§7.4 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

If the matrix has nonzero determinant, the transformation is invertible. These are conformal (angle-preserving) transformations of the complex plane called Möbius transformations. In Chapter 40, we will see this group action in special relativity, where its action on the sphere can be understood as a transformation of the space of light rays. For a matrix in $SU(2)$, the entries satisfy $\gamma =-\overline{\beta }$, $\delta =\overline{\alpha }$, and $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$. The corresponding transformation rotates the sphere in ${\mathbf{R}}^3$, giving another way to understand $SU(2)=\mathrm{Spin}(3)$ as the double cover of $SO(3)$.

§16.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

其中（对于写成列向量的 $m\in M$）$e^{-tL}\cdot m$ 是乘以矩阵 $e^{-tL}$。在写成列向量的线性函数 $l\in \mathcal{M}$ 上，同一个群作用(group action)将 $l$ 变为 $e^{tL}l$，并对 $\mathcal{M}$ 的基向量 $q,p$ 作用为

§16.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

where (for $m\in M$ written as column vectors) $e^{-tL}\cdot m$ is multiplication by the matrix $e^{-tL}$ . On linear functions $l\in \mathcal{M}$ written as column vectors, the same group action takes l to $e^{tL}l$ and acts on basis vectors $q,p$ of $\mathcal{M}$ by

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [第 40 章](../chapter-40/index#section-40)
• [Chapter 40](../chapter-40/index#section-40)

来源覆盖、定位与记录

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