13.5 阿贝尔反常与非阿贝尔反常

考虑一个 $m$ 维的欧几里得空间 $(m=2l)$，它被紧致化为 $S^m={\mathbb{R}}^m\cup \{\infty \}$；再设 $G$ 是一个半单规范群，并且是单连通的（例如 $\mathrm{SU}(N)$，其 ${\pi }_1(\mathrm{SU}(N))$ 是平凡的）。考虑一族单参数的规范变换 $g(\theta ,x)(0\le \theta \le 2\pi )$，使得

$$g(0,x)=g(2\pi ,x)=e.\text{\hspace{1em}(13.84)}$$

不失一般性，我们可以对 $g$ 作归一化，使它在点 $x_0\in S^m$ 处满足 $g(\theta ,x_0)=e$。映射 $g:S^1\times S^m\to G$ 按同伦类 ${\pi }_{m+1}(G)$ 分类。为看出这一点，我们定义拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 的smash 积 $X\wedge Y$：取直积 $X\times Y$，并把 $X\vee Y\equiv (x_0\times X)\cup (X\times y_0)$ 缩成一点。由图 13.2容易得到 $S^1\wedge S^m=S^m\wedge S^1=S^{m+1}$。反复应用这一结果便得到

图 13.2. smash 积 $S^1\wedge S^m\simeq S^{m+1}$。

$$S^m\wedge S^n=S^{m+n}.\text{\hspace{1em}(13.85)}$$

在我们所关心的情况下，条件(13.84)使直积 $S^1\times S^m$ 在拓扑上看起来像 $S^1\wedge S^m=S^{m+1}$。于是，$g$ 可视为一个映射

它从 $S^{m+1}$ 映入 $G$，并由 ${\pi }_{m+1}(G)$ 分类。由于我们在空间 $\mathfrak{G}={\Omega }^m(G)$ 中有一族单参数变换，我们也就有 ${\pi }_{m+1}(G)={\pi }_1(\mathfrak{G})$。实际计算中，我们取 $G=\mathrm{SU}(N)$，此时有

$${\pi }_{m+1}(\mathrm{SU}(N))=\mathbb{Z}N\ge \frac{1}{2}m+1.\text{\hspace{1em}(13.86)}$$

现在我们取零瞬子扇区 ${\Omega }_0^m(G)$ 中的一个“参考”规范场 $\mathcal{A}$，不失一般性，可以假定其狄拉克算符 (13.49) 没有零模。考虑一族单参数的规范势

$${\mathcal{A}}^{g(\theta )}(x)\equiv g^{-1}(\theta ,x)(\mathcal{A}(x)+d)g(\theta ,x)\text{\hspace{1em}(13.87)}$$

其中 $\theta$ 参数化 $S^1$。在13.3 节中我们已看到，$|\det \mathrm{i}\hat{D}|$ 是规范不变的（见(13.47)），并且在规范变换下只有 $\det \mathrm{i}\hat{D}$ 的相位可能获得反常变分。这尤其意味着，对任何 $\theta$，$\det \mathrm{i}\hat{D}$ 都不为零。我们写出

$$\exp \{-W_r[{\mathcal{A}}^{g(\theta )}]\}=\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{g(\theta )})=[\det \mathrm{i}\bar{\nabla }(\mathcal{A}){]}^{1/2}\exp [\mathrm{i}w(\mathcal{A},\theta )]\text{\hspace{1em}(13.88)}$$

其中 $\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$ 是狄拉克算符 (13.49)，而 $\exp [\mathrm{i}w(\mathcal{A},\theta )]$ 是与规范变换 (13.87) 相伴的反常相位。接下来我们考虑一族双参数的规范场 ${\mathcal{A}}^{t,\theta }$ $(0\le t\le 1)$，它在 $\mathcal{A}=0$ 与 ${\mathcal{A}}^{g(\theta )}$ 之间插值，

$${\mathcal{A}}^{t,\theta }\equiv t{\mathcal{A}}^{g(\theta )}(0\le t\le 1).\text{\hspace{1em}(13.89)}$$

由 $(t,\theta )$ 所确定的参数空间可以看作一个二维单位圆盘 $D^2$，其坐标为极坐标 $(t,\theta )$。在圆盘的边界 $\partial D^2=S^1$ 上，$\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{1,\theta })$ 的模是一个不为零的常数。于是相位 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}w(\mathcal{A},\theta )}$ 定义了一个映射 $S^1(=\partial D^2)\to S^1(=\mathrm{U}(1))$；见图 13.3。当我们沿着

图 13.3. 有效作用 $W[{\mathcal{A}}^{g(\theta )}]$ 的相位通过 $\theta \mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}w(\mathcal{A},\theta )}$ 定义了一个映射 $S^1\to \mathrm{U}(1)$。在圆盘上存在一些点 $\{p_i\}$，使得 $\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{t,\theta })$ 在这些点处为零。映射 $S^1\to \mathrm{U}(1)$ 的绕数由沿 $C_i$ 的绕数求和得到。

圆盘的边界移动时，相位绕单位圆旋转。这个映射的绕数是一个整数

$$\mathcal{N}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{\partial w(\mathcal{A},\theta )}{\partial \theta }\mathrm{d}\theta .\text{\hspace{1em}(13.90)}$$

下面我们将看到，$\mathcal{N}$ 是由 $(m+2)$ 维中的阿贝尔反常导出的。

练习 13.2

证明

$$W[{\mathcal{A}}^{\mathcal{G}(2\pi )}]-W[{\mathcal{A}}^{\mathcal{G}(0)}]=-2\pi \mathrm{i}\mathbb{N}.\text{\hspace{1em}(13.91)}$$

由于 $g(2\pi )=g(0)$，(13.91) 可以看作一个贝里相位。

13.5.1 $m$ 维与 $m+2$ 维

我们回顾一下，作为参考的规范场 $\mathcal{A}$ 不承载算子 $\mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A})$ 的任何零模。由于 $|\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{g(\theta )})|=|\det \mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A})|\ne 0$，算子 $\mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{g(\theta )})$ 也不容许零模。当然，$\mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{t,\theta })$ 可能有零模，因为一般而言 ${\mathcal{A}}^{t,\theta }$ 并非由 $\mathcal{A}$ 经规范变换得到。假设它在 $p_i=(t_i,{\theta }_i)$ 处有一个零模。我们假定这些零模是孤立点。由于 $\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{t,\theta })$ 是特征值的正则化乘积，它在 $p_i$ 处为零。$\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{t,\theta })$ 的相位可能只在围绕这些点的区域中具有非平凡的同伦性质。此外，$p_i$ 处的绕数由在 $p_i$ 处消失的那个特征值决定。例如，若 ${\lambda }_n(t,\theta )$ 在 $p_i$ 处消失，则它应具有如下形式

$${\lambda }_n(t,\theta )=f(t,\theta ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{w}_i(t,\theta )}\text{\hspace{1em}(13.92)}$$

其中 $f(t_i,{\theta }_i)=0$。$p_i$ 处的绕数为

$$m_i=\frac{1}{2\pi }{\int }_{C_i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}{w}_i(t,\theta )\mathrm{d}s\text{\hspace{1em}(13.93)}$$

其中 ${\mathbf{C}}_i$ 是围绕 $p_i$ 的一个小围道，见图 13.3。将环路 $S^1=\partial D^2$ 连续形变为包围 $p_i$ 的一族小圆 ${\mathbf{C}}_i$ 之和，我们便得到总绕数为

$$\mathcal{N}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{S^1}\mathrm{d}\theta \frac{\partial }{\partial \theta }w(\mathcal{A},\theta )=\sum m_i.\text{\hspace{1em}(13.94)}$$

下面我们说明，绕数 $\mathcal{N}$ 与 $(m+2)$ 维空间 $(m=2l)$ 中的指标定理有关：$\mathcal{N}=\mathrm{ind}\mathrm{i}{\bar{\nabla }}_{m+2}$，其中 $\mathrm{i}{\bar{\nabla }}_{m+2}$ 是 $S^2\times S^m$ 上的狄拉克算符，将在后面定义。我们考虑一个定义在 $D^2\times S^m$ 上的规范场论，其坐标为 $(t,\theta ,x)$。为避免边界项，我们再加上另一块坐标为 $(s,\theta ,x)$ 的 $D^2\times S^m$，从而构成一个无边的流形 $S^2\times S^m$；见图 13.4。我们把 $(t,\theta )$ 这一块称为北半球 $U_{\mathrm{N}}$，把 $(s,\theta )$ 称为南半球 $U_{\mathrm{S}}$。在 $S^2$ 的赤道 $S^1$ 上，有 $t=s=1$。我们选取如下局部规范势

图 13.4。

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{N}}(t,\theta ,x)={\mathcal{A}}^{t,\theta }+g^{-1}{\mathrm{d}}_{\theta }g(t,\theta )\in U_{\mathrm{N}}\text{\hspace{1em}(13.95a)}$$

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{S}}(s,\theta ,x)=\mathcal{A}(s,\theta )\in U_{\mathrm{S}}\text{\hspace{1em}(13.95b)}$$

其中 $\mathcal{A}$ 是前面引入的参考规范场。为了把 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{N}}={\mathcal{A}}_{\mathrm{N}\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 和 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{S}}={\mathcal{A}}_{\mathrm{S}\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 提升为 $S^2\times S^m$ 上 $G$ 纤维丛的整体联络，我们定义 $(m+2)$ 维的规范势

$${\mathbb{A}}_{\mathrm{N}}(t,\theta ,x)=\left({\mathcal{A}}_t,{\mathcal{A}}_{\theta },{\mathcal{A}}_{\mu }\right)=(0,0,{\mathcal{A}}_{\mathrm{N}\mu })\text{\hspace{1em}(13.96a)}$$

$${\mathbb{A}}_S(s,\theta ,x)=\left({\mathcal{A}}_s,{\mathcal{A}}_{\theta },{\mathcal{A}}_{\mu }\right)=(0,0,{\mathcal{A}}_{S\mu }).\text{\hspace{1em}(13.96b)}$$

在赤道 $(t=s=1)$ 上，有 ${\mathbb{A}}_{\mathrm{N}}=g^{-1}({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}}+\Delta )g$，其中 $\Delta =\mathrm{d}+{\mathrm{d}}_{\theta }+{\mathrm{d}}_t$（注意 ${\mathrm{d}}_{t}g=0$）。于是，$\mathbb{A}=\{{\mathbb{A}}_{\mathrm{N}},{\mathbb{A}}_{\mathrm{S}}\}$ 在 $S^2\times S^m$ 上定义了一个整体的联络。考虑一个与 $\mathbb{A}$ 耦合的狄拉克算符 $\mathrm{i}{\nabla }_{m+2}$。对 $\mathrm{i}{\nabla }_{m+2}$ 而言，指标定理给出

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{\bar{\mathcal{V}}}_{m+2}={\mathcal{N}}_{+}-{\mathcal{N}}_{-}={\int }_{S^2\times S^m}{\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})\text{\hspace{1em}(13.97)}$$

其中 $\mathbb{F}=\Delta \mathbb{A}+{\mathbb{A}}^2$，而 ${\mathcal{N}}_{+}$（$({\mathcal{N}}_{-})$）是 $\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_{m+2}$ 的 $+$ 手性零模的数目（手性是在 $(m+2)$ 维空间中定义的）。

Alvarez-Gaume 与 Ginsparg（1984）利用绝热微扰计算证明，每个绕数 $m_i$ 必定为 $\pm 1$。此外，狄拉克算符 $\mathrm{i}{\nabla }_{m+2}$ 在 $p_i=(t_i,{\theta }_i)$ 处有一个 $(m+2)$ 维手性为 $\chi =m_i=\pm 1$ 的零模。于是总绕数 $\mathcal{N}=\sum m_i$ 由指标 ${\mathcal{N}}_{+}-{\mathcal{N}}_{-}$ 给出。现在我们有

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{\nabla }_{m+2}={\int }_{S^2\times S^m}{\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \frac{\partial w(A,\theta )}{\partial \theta }.\text{\hspace{1em}(13.98)}$$

由(13.98)很容易求出非阿贝尔反常，包括其归一化。由于 ${\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})=\mathrm{d}{Q}_{m+1}(\mathbb{A},\mathbb{F})$，我们有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{S^2\times S^m}{\mathrm{ch}}_{l+1}(\mathbb{F})& ={\int }_{D^2\times S^m}{\mathrm{ch}}_{l+1}\left({\mathbb{F}}_{\mathrm{N}}\right)+{\int }_{D^2\times S^m}{\mathrm{ch}}_{l+1}\left({\mathbb{F}}_{\mathrm{S}}\right)\\ & ={\int }_{S^1\times S^m}{\left[Q_{m+1}\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{N}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{N}}\right)\right|}_{t=1}-Q_{m+1}\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{S}}\right){|}_{s=1}].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.99)}$$

由(11.118)可知，

$$\begin{array}{rl}& Q_{m+1}\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{N}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{N}}\right){|}_{t=1}-Q_{m+1}\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{S}}\right){|}_{s=1}\\ & =Q_{m+1}\left(g^{-1}\Delta g,0\right)+\Delta {\alpha }_m\\ & =(-1{)}^l{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^{l+1}\frac{l!}{(m+1)!}\mathrm{tr}{\left(g^{-1}\Delta g\right)}^{m+1}+\Delta {\alpha }_m.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.100)}$$

于是指标定理给出

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{\nabla }_{m+2}=(-1{)}^l{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^{l+1}\frac{l!}{(m+1)!}{\int }_{S^1\times S^m}\mathrm{tr}{\left(g^{-1}\Delta g\right)}^{m+1}.\text{\hspace{1em}(13.101)}$$

定理 10.7指出，${\int }_{S^3}\mathrm{tr}(g^{-1}\mathrm{d}g{)}^3$给出映射$g:S^3\to \mathrm{SU}(2)$的绕数。同样，(13.101)表示映射$g:S^{m+1}\to G$的绕数，并由${\pi }_{m+1}(G)$分类（注意$S^1\wedge S^m=S^{m+1}$）。

最后，我们说明非阿贝尔反常应当等同于$Q_m^1$。我们首先注意到

$${\int }_{S^1\times S^m}{Q}_{m+1}({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{S}})=0$$

由于被积函数与$\mathrm{d}\theta$无关，因而不能成为$S^1\times S^m$的体积元。于是有

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_{m+2}={\int }_{S^1\times S^m}{Q}_{m+1}\left({\mathcal{A}}^{g(\theta )}+\omega ,{\mathcal{F}}^{g(\theta )}\right)\text{\hspace{1em}(13.102)}$$

其中$\omega =g^{-1}{\mathrm{d}}_{\theta }g$，且${\mathcal{F}}^{g(\theta )}=\mathrm{d}{\mathcal{A}}^{g(\theta )}+({\mathcal{A}}^{g(\theta )}{)}^2=g(\theta {)}^{-1}\mathcal{F}g(\theta )$。若将(13.102)中的被积函数按$\omega$展开，则只有关于$\mathrm{d}\theta$线性的项对积分有贡献。这一项$Q_m^1(\omega ,{\mathcal{A}}^{g(\theta )},{\mathcal{F}}^{g(\theta )})$正比于$\mathrm{d}\theta \wedge$（$S^m$中的体积元），因而也是$S^1\times S^m$的体积元。现在我们有

$$\begin{array}{rl}{\delta }_{\omega }W[\mathcal{A}]& ={\int }_{S^m}\mathrm{tr}\omega {\mathcal{D}}_{\mu }\frac{\delta W[\mathcal{A}]}{\delta {\mathcal{A}}_{\mu }}\\ & ={\mathrm{id}}_{\theta }w(\theta ,\mathcal{A})=2\pi \mathrm{i}{\int }_{S^m}{Q}_m^1(\omega ,{\mathcal{A}}^{g(\theta )},{\mathcal{F}}^{g(\theta )}).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.103)}$$

$Q_m^1$ 的显式形式由 (13.82) 给出。对于 $m=4$，我们得到

$$\begin{array}{rl}\int \mathrm{tr}\omega {\mathcal{D}}_{\mu }\frac{\delta W[\mathcal{A}]}{\delta {\mathcal{A}}_{\mu }}& =2\pi \mathrm{i}{\int }_{S^4}{Q}_4^1(\omega ,{\mathcal{A}}^{g(\theta )},{\mathcal{F}}^{g(\theta )})\\ & =\frac{1}{24{\pi }^2}{\int }_{S^4}\mathrm{tr}\omega \mathrm{d}\left[{\mathcal{A}}^{g(\theta )}\mathrm{d}{\mathcal{A}}^{g(\theta )}+\frac{1}{2}{\left({\mathcal{A}}^{g(\theta )}\right)}^3\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(13.104)}$$

代入 $\theta =0$（$g=e$），便重现了反常散度

$${\mathcal{D}}_{\mu }⟨j^{\mu }{⟩}_{\alpha }=\frac{1}{24{\pi }^2}\mathrm{tr}{T}_{\alpha }{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }_{\kappa }\left[{\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }+\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }\right]\text{\hspace{1em}(13.105)}$$

这与(13.56)一致。本文的方法保证了WZ 条件能给出正确的结果。此外，它还能重现反常散度，其中包括仅凭 WZ 条件无法确定的归一化。

尾注

原书尾注 5：正文锚点待核

读者不妨通过具体画出 $S^1\wedge S^1=S^2$ 来使自己确信这一点。

来源与版本

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