19.2 指数映射

English

两个李群 $G$ 与 $H$ 之间的 李群同态(Lie group homomorphism) 是一个可微映射 $\phi :G\to H$，并且是群同态，即对所有 $g,h\in G$ 都有 $\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)$。若它是微分同胚，则称 $\phi$ 为 李群同构(Lie group isomorphism)。

定理 19.3 · 李群同态诱导李代数同态 (Lie group homomorphisms induce Lie algebra homomorphisms)

李群同态$\phi :G\to H$诱导一个李代数同态${\phi }_{\ast }:\mathcal{G}\to \mathcal{H}$。若$\phi$是同构，则${\phi }_{\ast }$是李代数同构。

证明

原点处的切映射 ${\phi }_{\ast }:T_e(G)\to T_e(H)$ 定义了李代数 $\mathcal{G}$ 与 $\mathcal{H}$ 之间的映射。若 $X$ 是 $G$ 上的左不变向量场，则左不变向量

域 ${\phi }_{\ast }X$ 在 $H$ 上由下式定义

$$({\phi }_{\ast }X{)}_h=L_{h\ast }{\phi }_{\ast }{X}_e.$$

由于$\phi$是同态

$$\phi \circ L_a(g)=\phi (ag)=\phi (a)\phi (g)=L_{\phi (a)}\circ \phi (g)$$

对任意 $g\in G$。因此向量场 $X$ 与 ${\phi }_{\ast }X$ 是 $\phi$ 相关的，

$$\begin{array}{rl}& {\phi }_{\ast }{X}_a={\phi }_{\ast }\circ L_{a\ast }{X}_e\\ & =L_{\phi (a)\ast }\circ {\phi }_{\ast }{X}_e\\ & =({\phi }_{\ast }X{)}_{\phi (a)}.\end{array}$$

由引理 19.1 可知，李括号 [$X$, $Y$] 与 $[{\phi }_{\ast }X,{\phi }_{\ast }Y]$ 是 $\phi$ 相关的，

$$[{\phi }_{\ast }X,{\phi }_{\ast }Y]={\phi }_{\ast }[X,Y],$$

使得 ${\phi }_{\ast }$ 是李代数同态。在 $\phi$ 为同构的情形下，${\phi }_{\ast }$ 在 $G_e$ 处是一一且到上的——

$G$ 的 单参数子群(one-parameter subgroup) 是一个同态 $\gamma :\mathbb{R}\to G$

$$\gamma (t+s)=\gamma (t)\gamma (s).$$

必然地，$\gamma (0)=e$。原点处的切向量生成唯一的左不变向量场$X$，使得$X_e=\dot{\gamma }(0)$，其中我们使用自明的记号$\dot{\gamma }(t)$表示${\dot{\gamma }}_{\gamma (t)}$。向量场$X$处处与曲线相切，$X_{\gamma (t)}=\dot{\gamma }(t)$，因为若$f:G\to$ $R$是任意可微函数，则

$$\begin{array}{l}{X}_{\gamma (t)}f=(L_{\gamma (t)\ast }\dot{\gamma }(0))f\\ =\dot{\gamma }(0)(f\circ L_{\gamma (t)})\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}f(\gamma (t)\gamma (u)){|}_{u=0}\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}f(\gamma (t+u)){|}_{u=0}\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\gamma (t))=\dot{\gamma }(t)f.\end{array}$$

反之，给定任意左不变向量场$X$，存在唯一一个生成它的单参数群$\gamma :\mathbb{R}\to G$。证明利用了定理15.2的结果：在单位元$e$的邻域$U$上存在局部单参数变换群${\sigma }_t$，使得对于$0\le |t|,|s|,|t+s|<ϵ$有${\sigma }_{t+s}={\sigma }_t\circ {\sigma }_s$，并且对于所有$h\in U$以及$U$上的光滑函数$f$

$$X_{h}f=\frac{\mathrm{d}f({\sigma }_t(h))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}.$$

对于所有满足 $g^{-1}h\in U$ 的 $h$、$g\in U$，我们有

$$\begin{array}{l}{X}_{h}f=X_{L_g(g^{-1}h)}f\\ =\left(L_{g\ast }{X}_{g^{-1}h}\right)f\\ =X_{g^{-1}h}(f\circ L_g)\\ =\frac{\mathrm{d}f\circ L_g\circ {\sigma }_t(g^{-1}h)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\\ =\frac{\mathrm{d}f({\sigma }_t^{\prime }(h))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\end{array}$$

其中

$${\sigma }_t^{\prime }=L_g\circ {\sigma }_t\circ L_{g^{-1}}.$$

映射${\sigma }_t^{\prime }$构成一个局部单参数变换群，因为

$${\sigma }_t^{\prime }\circ {\sigma }_s^{\prime }=L_g\circ {\sigma }_t\circ {\sigma }_s\circ L_{g^{-1}}=L_g\circ {\sigma }_{t+s}\circ L_{g^{-1}}={\sigma }_{t+s}^{\prime },$$

并生成与由 ${\sigma }_t$ 生成的相同的向量场 $X$。因此，在 ${\dot{\theta }}_{e,\theta }$ 的邻域 $U$ 上 ${\sigma }_t^{\prime }={\sigma }_t$，从而

$${\sigma }_t\circ L_g=L_g\circ {\sigma }_t.\text{\hspace{1em}(19.6)}$$

令 $\gamma (t)={\sigma }_t(e)$，我们有

$${\sigma }_t(g)=g{\sigma }_t(e)=g\gamma (t)$$

对于所有 $g\in U$，单参数群性质对 $\gamma$ 在 $0\le |t|,|s|,|t+s|\theta <ϵ$ 时成立

$$\begin{array}{c}\gamma (t+s)={\sigma }_{t+s}(e)={\sigma }_t\circ {\sigma }_s(e)={\sigma }_t(\gamma (s))\\ =\gamma (s){\sigma }_t(e)=\gamma (s)\gamma (t)=\gamma (t)\gamma (s).\end{array}$$

局部单参数群可以通过设定以下内容而延拓至 $t$ 和 $s$ 的所有值

$$\gamma (t)={\left(\gamma (t/n)\right)}^n$$

对于 $n$，选取一个正整数使得 $|t/n|<ϵ$。群性质对所有 $t$、$s$ 成立，这由

$$\gamma (t+s)={\left(\gamma ((t+s)/n)\right)}^n={\left(\gamma (t/n)\gamma (s/n)\right)}^n={\left(\gamma (t/n)\right)}^n{\left(\gamma (s/n)\right)}^n=\gamma (t)\gamma (s).$$

容易验证，该单参数群对所有 $t$ 的值都与 $X$ 相切。

指数映射

指数映射 指数映射(exponential map) $\exp$ : $\mathcal{G}\to G$ 由下式定义

$$\exp X\equiv \exp (X)=\gamma (1)$$

其中 $\gamma :\mathbb{R}G$，是由左不变向量场 $X$ 生成的单参数子群。于是

$$\gamma (s)=\exp sX.\text{\hspace{1em}(19.7)}$$

对于 $\alpha$，令 $\alpha (t)=\gamma (st)$ 定义单参数子群

$$\alpha (t+t^{\prime })=\gamma (s(t+t^{\prime }))=\gamma (st)\gamma (s{t}^{\prime })=\alpha (t)\alpha (t^{\prime }).$$

若 $f$ 是 $G_{:}$ 上的任意光滑函数，则

$$\dot{\alpha }(0)f=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\gamma (st)){|}_{t=0}=s\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}f(\gamma (u)){|}_{u=0}=s{X}_{e}f.$$

因此，$\alpha$ 是由左不变向量场 $sX,$ 生成的单参数子群，且 $\exp$ $s$ $X=\alpha (1)=\gamma (s)$

此外，我们还有

$$(Xf)(\exp tX)=X_{\gamma (t)}f=\dot{\gamma }(t)f=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\gamma (t))$$

使得

$$(Xf)(\exp tX)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\exp tX).\text{\hspace{1em}(19.8)}$$

“指数映射”这一名称的动机在于恒等式

$$\exp (sX)\exp (tX)=\gamma (s)\gamma (t)=\gamma (s+t)=\exp (s+t)X.\text{\hspace{1em}(19.9)}$$

例 19.5

设

$$X=x_k^i{A}_j^k\frac{\partial }{\partial x_j^i}$$

为一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 上的左不变向量场。令 $f=x_j^i$，我们有

$$Xf=X{x}_j^i=x_k^i{A}_j^k$$

将其代入式（19.8）得到

$$A_j^k{x}_k^i(\exp tX)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_j^i(\exp tX).$$

若$y_k^i=x_k^i(\exp tX)$是元素$\exp (tX)$的分量，且矩阵$\mathsf{Y}=[y_k^i]$满足线性微分方程

$$\frac{\mathrm{d}\mathsf{Y}}{\mathrm{d}t}=\mathsf{YA}$$

在初始条件$\mathsf{Y}(0)=\mathsf{I}$下，具有唯一解

$${\rm Y}(t)={\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}=\mathsf{I}+t\mathsf{A}+\frac{t^2{\mathsf{A}}^2}{2!}+\dots ,$$

于是，若将 $X_e$ 与矩阵 $\mathsf{A}\in \mathcal{G}$ 等同，则元素 $\exp (t{X}_e)\in GL(n,\mathbb{R}){\mathrm{is}\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}$ 的分量矩阵

对任意左不变向量场 $X$，由式 (19.8) 可得，

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(L_g(\exp tX))& =(X(f\circ L_g))(\exp tX)\\ & =(L_{g\ast }Xf)(\exp tX)\\ & =(Xf)(g\exp tX)\end{array}$$

由于 $L_{g\ast }X=X$ 。因此曲线 $t\mapsto L_g\exp (tX)$ 是 $X$ 过 $g$ 在 $t=0$ 处的积分曲线。由于 $g$ 是 $G_{:}$ 的任意点，映射 ${\sigma }_t:g\to g\exp tX=R_{\exp tX}g$ 构成一个单参数变换群，该群生成 $X,$ ，于是我们得出结论：每个左不变向量场都是完备的。

指数映射是零向量 $0\in \mathcal{G}$ 的一个邻域到单位元 $e\in G$ 的一个邻域的微分同胚。证明可在 [6] 中找到。如果 $\phi :H\to G$ 是李群同态，那么

$$\phi \circ \exp =\exp \circ {\phi }_{\ast }\text{\hspace{1em}(19.10)}$$

其中 ${\phi }_{\ast }:\mathcal{GH}$ 是定理 19.3 所诱导的李群同态。因为，令 $\gamma :\mathbb{R}\to G$ 为由 $\gamma (t)=\phi (\exp tX)$ 定义的曲线。由于 $\phi$ 是同态，该曲线是 $G$ 的单参数子群

$$\gamma (t)\gamma (s)=\phi (\exp tX\exp sX)=\phi (\exp (t+s)X)=\gamma (t+s).$$

其在 $t=0$ 处的切向量为 ${\phi }_{\ast }{X}_e$，因为

$$\dot{\gamma }(0)f=\frac{\mathrm{d}f\circ \phi (\exp tX)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}=X_e(f\circ \phi )=({\phi }_{\ast }{X}_e)f,$$

而 $\gamma$ 是由左不变向量场 ${\phi }_{\ast }X$ 生成的单参数子群。因此 $\phi (\exp tX)=\exp t{\phi }_{\ast }X$，且令 $t=1$ 即得式 (19.10)。

习题

习题 19.4

称函数 $f:G\to \mathbb{R}$ 为 $G$ 上的解析函数，如果它可以在任意点 $g\in G$ 处展开为泰勒级数。证明：如果 $X$ 是左不变向量场，且 $f$ 是 $G$ 上的解析函数，那么

$$f(g\exp tX)=\left({\mathrm{e}}^{tX}f\right)(g)$$

其中，对任意向量场 $Y$，我们定义

$${\mathrm{e}}^{Y}f=f+Yf+\frac{1}{2!}{Y}^{2}f+\frac{1}{3!}{Y}^{3}f+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }\frac{Y^n}{n!}f.$$

算符$Y^n$由$Y^{n}f=Y(Y^{n-1}f)$归纳定义

习题 19.5

证明 $\exp (tX)$ $\exp$ $tY=\exp t(X+Y)+O(t^2)$