特殊正交群 (special orthogonal group)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§2.2 · zh-CN · translation · unreviewed

圆群可以与平面 ${\mathbf{R}}^2$ 的旋转群等同；在这种情况下，它称为特殊正交群(special orthogonal group) $SO(2)$（原因见第 4 章）。不过，将 ${\mathbf{R}}^2$ 与复平面 $\mathbf{C}$ 等同起来，并改用下面这个与 $SO(2)$ 同构的群，会更方便：

§2.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

The circle group can be identified with the group of rotations of the plane ${\mathbf{R}}^2$; in this form, it is called the special orthogonal group $SO(2)$, for reasons discussed in chapter 4. It is quite convenient, however, to identify ${\mathbf{R}}^2$ with the complex plane $\mathbf{C}$ and work with the following group (which is isomorphic to $SO(2)$):

§4.6 · zh-CN · translation · unreviewed

$O(n)$ 中行列式为 $1$ 的矩阵构成子群 $SO(n)$，也就是保持正交基定向的变换群；它称为特殊正交群(special orthogonal group)。

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

回忆一下，正交群(orthogonal group) $O(n)$ 是 $GL(n,\mathbf{R})$ 中满足 ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$ 的矩阵 $\Omega$ 的子群。我们下面只讨论特殊正交群(special orthogonal group) $SO(n)$，即由行列式为 $1$ 的矩阵构成的子群。它是 $O(n)$ 中包含单位元的连通分支，其元素可以写成

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Recall that the orthogonal group $O(n)$ is the subgroup of $GL(n,\mathbf{R})$ of matrices $\Omega$ satisfying ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$. We will restrict attention to the special orthogonal group $SO(n)$, the subgroup of matrices with determinant $1$, which is the component of the group containing the identity, with elements that can be written as

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

回顾：特殊正交群 → 原定义

• 特殊正交群(special orthogonal group) $SO(n)\subset SL(n,\mathbf{R})$ 是 $O(n)$ 中行列式为 $1$ 的子群。它与 $O(n)$ 具有相同的李代数：$\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{o}(n)$。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Recall: special orthogonal group → original definition

• The special orthogonal group $SO(n)\subset SL(n,\mathbf{R})$ is the subgroup of $O(n)$ with determinant one. It has the same Lie algebra as $O(n)$: $\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{o}(n)$.

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

二维平面中绕原点的旋转由特殊正交群(special orthogonal group) $SO(2)$ 的元素表示。逆时针旋转角度 $\theta$ 对应的旋转矩阵为：

§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Rotations in ${\mathbf{R}}^2$ about the origin are elements of the special orthogonal group $SO(2)$. A counterclockwise rotation by angle $\theta$ is represented by the matrix

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

• 特殊正交群(special orthogonal group) $\mathrm{SO}(3)$，其李代数与 $\mathrm{Spin}(3)$ 的李代数同构。

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

• The special orthogonal group $\mathrm{SO}(3)$, whose Lie algebra is isomorphic to that of $\mathrm{Spin}(3)$.

§6.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

特殊正交群(special orthogonal group) $\mathrm{SO}(3)$与

§6.4 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

special orthogonal group $\mathrm{SO}(3)$ and

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [原定义](02-lie-algebras-of-the-orthogonal-and-unitary-groups#concept-5-special-orthogonal-group)
• [original definition](02-lie-algebras-of-the-orthogonal-and-unitary-groups#concept-5-special-orthogonal-group)

来源覆盖、定位与记录

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