李代数 (Lie algebra)

别名：Lie algebras

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§6.5 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§6.5 · zh-CN · translation · unreviewed

一个李代数(Lie algebra)是一个实或复向量空间，带有一种复合律或括号积(bracket product) $[X, Y]$ ，满足

§6.5 · en · original_transcription · unreviewed

A Lie algebra is a real or complex vector space with a law of composition or bracket product $[X, Y]$ satisfying

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

一般的抽象数学观点（我们将在第5章中更详细地讨论）是，表示 $π$ 是流形之间的映射，从李群 $U (1)$ 到李群 $G L (n, C)$ ，它将 $U (1)$ 的单位元映到 $G L (n, C)$ 的单位元。因此，它有一个微分 $π^{'}$ ，这是一个从 $U (1)$ 单位元处的切空间（这里即 $i R$ ）到 $G L (n, C)$ 单位元处的切空间（即 $n$ 乘 $n$ 复矩阵的空间 $M (n, C)$ ）的线性映射。李群单位元处的切空间称为“李代数(Lie algebra)”。在后续章节中，我们将研究许多此类李代数和此类映射 $π^{'}$ 的不同例子，其中线性映射 $π^{'}$ 常常确定表示 $π .$

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

若一个李群 $G$ 被定义为带有群律的可微流形，则可考虑单位元处的切空间，该切空间就是 $G$ 的李代数(Lie algebra)。然而，我们主要感兴趣的是 $G$ 为矩阵群的情形，在此类情形下，李代数可以更具体地定义：

§5.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Lie algebra

For $G$ a Lie group of $n$ by $n$ invertible matrices, the Lie algebra of $G$ (written $L i e (G)$ or $g$ ) is the space of $n$ by $n$ matrices $X$ such that $e^{tX} \in G$ for $t \in R$ .

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 李代数(Lie algebra)

设 $G$ 是一个由 $n \times n$ 可逆矩阵构成的李群。 $G$ 的李代数(Lie algebra)（记作 $Lie (G)$ 或 $g$ ）是所有满足对每个 $t \in R$ 都有 $e^{tX} \in G$ 的 $n \times n$ 矩阵 $X$ 构成的空间。

§5.6 · zh-CN · translation · unreviewed