李群的伴随表示 (adjoint group representation)

Marked passages use Ad(g) on the Lie algebra; the infinitesimal ad representation has its own definition.

别名：Adjoint representation；adjoint representation；伴随表示

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

这个线性空间 $\mathfrak{g}\subset M(n,\mathbf{C})$ 使我们可以构造一个作用在实向量空间 $\mathfrak{g}$ 上的特殊表示，称为“伴随表示(adjoint representation)”：

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 伴随表示(adjoint representation)

定义（伴随表示）。伴随表示(adjoint representation) $(\mathrm{Ad},\mathfrak{g})$ 是由下列同态给出的表示：

$$\mathrm{Ad}:g\in G\to \mathrm{Ad}(g)\in GL(\mathfrak{g})$$

其中，$\mathrm{Ad}(g)$ 对 $X\in \mathfrak{g}$ 的作用为

$$(\mathrm{Ad}(g))(X)=gX{g}^{-1}$$

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Definition · Adjoint representation

Definition (Adjoint representation). The adjoint representation $(Ad,\mathfrak{g})$ is given by the homomorphism

$$\mathrm{Ad}:g\in G\to \mathrm{Ad}(g)\in GL(\mathfrak{g})$$

where $Ad(g)$ acts on $X\in \mathfrak{g}$ by

$$(\mathrm{Ad}(g))(X)=gX{g}^{-1}$$

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

对于任意李群 $G$，我们已经看到一个特别的表示，即伴随表示(adjoint representation) $(\mathrm{Ad},\mathfrak{g})$。与之对应的李代数表示(Lie algebra representation)也称为伴随表示，记作 $({\mathrm{Ad}}^{\prime },\mathfrak{g})=(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$。这是因为

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

For any Lie group $G$, we have seen the distinguished representation, the adjoint representation $(\mathrm{Ad},\mathfrak{g})$. The corresponding Lie algebra representation is also called the adjoint representation, written $({\mathrm{Ad}}^{\prime },\mathfrak{g})=(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$. This follows from the fact that

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

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§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

列向量上的向量表示 $({\pi }_{\mathrm{vector}},{\mathbf{R}}^3)$ 与反对称矩阵上的伴随表示 $(\mathrm{Ad},\mathfrak{so}(3))$ 之间的同构由下式给出

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

对于反对称矩阵上的伴随表示

§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The isomorphism between the vector representation $({\pi }_{\mathrm{vector}},{\mathbf{R}}^3)$ on column vectors and the adjoint representation $(\mathrm{Ad},\mathfrak{so}(3))$ on skew-symmetric matrices is given by

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§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

它对这三个群而言都是伴随表示(adjoint representation)；对 $\mathrm{SO}(3)$ 而言，该表示与向量表示(vector representation)同构。

§7.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

This was the adjoint representation for all three groups; for $\mathrm{SO}(3)$, it is isomorphic to the vector representation.

§7.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

回顾：伴随表示 → 原定义

在海森堡绘景中，动力学由算符的微分方程描述，而不是由态的微分方程描述。回顾伴随表示(adjoint representation)中的公式（见方程 (5.1)）：

§7.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Recall: adjoint representation → original definition

In the Heisenberg picture, the dynamics is governed by a differential equation for the operators rather than the states. Recall the formula from our discussion of the adjoint representation (see equation (5.1)):

§16.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

这一作用由自同构给出，这些自同构称为内自同构。映射 ${\Phi }_g$ 在单位元处的导数，是李代数 $\mathfrak{g}$ 上的线性映射 $\mathrm{Ad}(g)$，称为伴随表示(adjoint representation)，见第5章。因此，诱导出的 $\mathfrak{g}$ 上的作用为

§16.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

This action is by automorphisms, called inner automorphisms. The derivative of ${\Phi }_g$ at the identity is the linear map $\mathrm{Ad}(g)$ on the Lie algebra $\mathfrak{g}$, called the adjoint representation (discussed in chapter 5). Thus the induced action on $\mathfrak{g}$ is

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [原定义](../chapter-05/01-lie-algebras#concept-5-adjoint-group-representation)
• [方程 (5.1)](../chapter-05/01-lie-algebras#equation-5-1)
• [original definition](../chapter-05/01-lie-algebras#concept-5-adjoint-group-representation)
• [equation (5.1)](../chapter-05/01-lie-algebras#equation-5-1)
• [第5章](../chapter-05/index#section-5)
• [chapter 5](../chapter-05/index#section-5)

来源覆盖、定位与记录

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