正交群 (orthogonal group)

别名：Orthogonal group；orthogonal groups

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

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§2.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

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§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

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Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

• 群 $G_2=O(3)$，即正交群(orthogonal group)，由 ${\mathbf{R}}^3$ 的三维正交变换组成，并作用于 ${\mathbf{R}}^3$。这些变换是绕原点的旋转，也可能是旋转与一次反射的复合。注意，此处运算次序很重要：对于 $O(3)$ 这样的非交换群(non-commutative group)，某些群元素 $g_1,g_2$ 满足 $g_1{g}_2\ne g_2{g}_1$。

§4.6 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Orthogonal group

Definition (Orthogonal group). The orthogonal group $O(n)$ in $n$ dimensions is the group of invertible transformations preserving an inner product on a real $n$ dimensional vector space $V$ . This is isomorphic to the group of $n$ by $n$ real invertible matrices $L$ satisfying

$$L^{-1}=L^T$$

§4.6 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 正交群(orthogonal group)

定义（正交群(orthogonal group)）。$n$维正交群$O(n)$是保持实$n$维向量空间$V$上内积的可逆变换构成的群。它同构于满足下式的 $n$ 乘 $n$ 实可逆矩阵 $L$ 所构成的群

$$L^{-1}=L^T$$

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

我们最感兴趣的是保持内积的线性变换群：正交群(orthogonal group)与酉群(unitary group)。我们已经看到，正交群是 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ 的子群，酉群是 $GL(n,\mathbf{C})$ 的子群；它们的元素 $\Omega$ 均满足下式

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

The groups we are most interested in are the groups of linear transformations preserving an inner product: the orthogonal group and unitary group. We have seen that these are subgroups of $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ or $GL(n,\mathbf{C})$ , consisting of those elements $\Omega$ satisfying the condition

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

回忆一下，正交群(orthogonal group) $O(n)$ 是 $GL(n,\mathbf{R})$ 中满足 ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$ 的矩阵 $\Omega$ 的子群。我们下面只讨论特殊正交群(special orthogonal group) $SO(n)$，即由行列式为 $1$ 的矩阵构成的子群。它是 $O(n)$ 中包含单位元的连通分支，其元素可以写成

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Recall that the orthogonal group $O(n)$ is the subgroup of $GL(n,\mathbf{R})$ of matrices $\Omega$ satisfying ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$. We will restrict attention to the special orthogonal group $SO(n)$, the subgroup of matrices with determinant $1$, which is the component of the group containing the identity, with elements that can be written as

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

• 正交群(orthogonal group) $O(n)\subset GL(n,\mathbf{R})$ 由满足 ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$ 的 $n\times n$ 实矩阵 $\Omega$ 构成。其李代数 $\mathfrak{o}(n)$ 由满足 $X^T=-X$ 的 $n\times n$ 实矩阵构成。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

• The orthogonal group $O(n)\subset GL(n,\mathbf{R})$ consists of $n\times n$ real matrices $\Omega$ satisfying ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$. Its Lie algebra $\mathfrak{o}(n)$ consists of $n\times n$ real matrices $X$ satisfying $X^T=-X$.

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正交群(orthogonal group) $\mathrm{SO}(n)$ 有一个微妙而引人注目的性质：存在一个与之相关联的群，称为自旋群(spin group) $\mathrm{Spin}(n)$；$\mathrm{SO}(n)$ 的每个元素都对应 $\mathrm{Spin}(n)$ 中恰好两个不同元素。存在一个满射

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

A subtle and remarkable property of the orthogonal groups $\mathrm{SO}(n)$ is that it comes with an associated group, called the spin group $\mathrm{Spin}(n)$, such that every element of $\mathrm{SO}(n)$ corresponds to two distinct elements of $\mathrm{Spin}(n)$. There is a surjective group homomorphism

§16.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正交群(orthogonal group)由保持内积的线性变换(linear map)组成；内积是一种对称双线性形式。现在，我们考察将内积替换为反对称双线性形式 $\Omega$ 后得到的类似群；$\Omega$ 决定了相空间的辛几何。定义如下：

§16.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Recall that the orthogonal group consists of the linear transformations that preserve an inner product, a symmetric bilinear form. We now consider the analogous group obtained by replacing the inner product with the antisymmetric bilinear form $\Omega$ that determines the symplectic geometry of phase space. It is defined as follows:

§29.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（ 正交群(orthogonal group) $O(r,s,\mathbb{R})$）

$O(r,s,\mathbb{R})$ 是满足下式的实 $(r+s)\times (r+s)$ 矩阵 $g$ 组成的群：

$$g^T\underset{r\text{ positive signs},s\text{ negative signs}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & -1& 0\\ 0& 0& \dots & 0& -1\end{array}\right)}}g=\underset{r\text{ positive signs},s\text{ negative signs}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & -1& 0\\ 0& 0& \dots & 0& -1\end{array}\right)}}$$

§29.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition ( orthogonal group $O(r,s,\mathbb{R})$)

$O(r,s,\mathbb{R})$ consists of real $(r+s)\times (r+s)$ matrices $g$ satisfying

$$g^T\underset{r\text{ positive signs},s\text{ negative signs}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & -1& 0\\ 0& 0& \dots & 0& -1\end{array}\right)}}g=\underset{r\text{ positive signs},s\text{ negative signs}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & -1& 0\\ 0& 0& \dots & 0& -1\end{array}\right)}}$$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-11”
• href=“#equation-2-8”
• href=“#equation-2-4”
• href=“#equation-2-7”
• href=“07-symmetry-groups#section-2-7”

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

正交群刻画保留内积的可逆变换。Woit从保持内积及其伴随条件引入，再定义实 $n$ 维 $O(n)$；矩阵条件为 $L^{-1}=L^T$。 Woit · §4.6

Szekeres先定义实正交矩阵：$A{A}^T=A^{T}A=I$，全体组成 $O(n)$；随后另定义保留不定型的 $O(p,q)$，满足 $A^T{G}_{p}A=G_p$，两类条件不能混为一谈。 Szekeres · §2.3

Woit接着区分行列式为 $1$ 的 $SO(n)$，以 $n=2$ 的旋转和反射举例，再转到保持复厄米内积的酉群。 Woit · §4.6

Woit · 作者条件与约定

从保持内积的可逆变换及伴随条件开始，随后定义实向量空间上的 $O(n)$；之后介绍 $SO(n)$、二维旋转和反射，再转入复内积对应的酉群。

条件：实空间维数为 $n$；变换可逆并保持内积，矩阵形式满足 $L^{-1}=L^T$。$SO(n)$ 还要求行列式为 $1$。

记号：$O(n)$、$SO(n)$；本项归纳第4.6节的实情形。

Woit · §4.6

Szekeres · 作者条件与约定

先定义实正交矩阵并验证其组成 $O(n)$，继而讨论行列式正负与 $SO(n)$；之后扩展到保留不定型的 $O(p,q)$，并另提复正交群和酉群。

条件：标准实内积对应 $A{A}^T=A^{T}A=I$。另以 $G_p$ 定义 $O(p,q)$，满足 $A^T{G}_{p}A=G_p$，这是不同的型。

记号：$O(n)$、$SO(n)$、$O(p,q)$；$G_p$ 对角元为 $1$ 或 $-1$。

Szekeres · §2.3

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 20；当前可定位出现 20。

永久身份：urn:uuid:9c0cba6a-c2b4-4c44-b15e-b04e84d239af。

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