内积 (inner product)

正定实/复内积：同一向量空间V上的标量值配对，实数域为对称双线性，复数域为共轭对称半双线性，且非零向量的自配对为正实数。Nakahara§2.2.4明确要求实矩阵正定，练习2.11要求正定Hermitian矩阵；保留原UUID。不是V*×V自然配对、链与微分形式的积分配对，也不包括Szekeres/Woit允许的非正定实内积。既有书内误绑须逐节点重审，不因转正自动认可。

词性：名词

已登记的原文定义

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页

Let  $V = V(m, K)$  be a vector space with a basis  $\{e_i\}$  and let  $g$  be a vector space isomorphism  $g: V \to V^*$ , where  $g$  is an arbitrary element of  $\mathrm{GL}(m, K)$ . The component representation of  $g$  is

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页


$$
g: v ^ {j} \rightarrow g _ {i j} v ^ {j}. \tag {2.14}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页

Once this isomorphism is given, we may define the inner product of two vectors  $\pmb{v}_1, \pmb{v}_2 \in V$  by

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页


$$
g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) \equiv \langle g \boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2} \rangle . \tag {2.15}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页

Let us assume that the field  $K$  is a real number  $\mathbb{R}$ . For definiteness. Then equation (2.15) has a component expression,

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第97页


$$
g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) = v _ {1} ^ {i} g _ {j i} v _ {2} ^ {j}. \tag {2.16}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第98页

We require that the matrix  $(g_{ij})$  be positive definite so that the inner product  $g(\pmb{v},\pmb{v})$  has the meaning of the squared norm of  $\pmb{v}$ . We also require that the metric be symmetric:  $g_{ij} = g_{ji}$  so that  $g(\pmb{v}_1,\pmb{v}_2) = g(\pmb{v}_2,\pmb{v}_1)$ .

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第98页

Exercise 2.11. Let  $V$  be a vector space over  $\mathbb{C}$ . The inner product of two vectors  $\pmb{v}_1$  and  $\pmb{v}_2$  is defined by

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第98页


$$
g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) = \bar {v} _ {1} ^ {i} g _ {i j} v _ {2} ^ {j} \tag {2.20}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2.4 · PDF 第98页

where  $\bar{\cdot}$  denotes the complex conjugate. From the positivity and symmetry of the inner product,  $g(\pmb{v}_1,\pmb{v}_2) = \overline{g(\pmb{v}_2,\pmb{v}_1)}$ , the vector space isomorphism  $g:V\to V^{*}$  is required to be a positive-definite Hermitian matrix. Let  $f:V\rightarrow W$  be a (complex) linear map and  $G:W\to W^{*}$  be a vector space isomorphism. The adjoint of  $f$  is defined by  $g(\pmb{v},\tilde{f}\pmb{w}) = \overline{G(\pmb{w},f\pmb{v})}$ . Repeat the analysis to show that

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

原文提及（不作为定义）

Nakahara · second-edition-local · §2.2

Let  $V = V(m, K)$  be a vector space with a basis  $\{e_i\}$  and let  $g$  be a vector space isomorphism  $g: V \to V^*$ , where  $g$  is an arbitrary element of  $\mathrm{GL}(m, K)$ . The component representation of  $g$  is

管理员修复#95自身登记口径错误：显示Markdown摘录不能冒充同ID的IR原文。保留旧逐字归档并降为上下文提及，按原始IR完整作者定义框/审阅散文公式单元重登；Szekeres使用逐字原文source-packet，不伪造章节IR节点。范围、UUID与标签政策不变。

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

$$
g: v ^ {j} \rightarrow g _ {i j} v ^ {j}. \tag {2.14}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

Once this isomorphism is given, we may define the inner product of two vectors  $\pmb{v}_1, \pmb{v}_2 \in V$  by

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

$$
g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) \equiv \langle g \boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2} \rangle . \tag {2.15}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

Let us assume that the field  $K$  is a real number  $\mathbb{R}$ . For definiteness. Then [equation (2.15)](02-section-2-2.md#equation-2-15) has a component expression,

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

$$
g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) = v _ {1} ^ {i} g _ {j i} v _ {2} ^ {j}. \tag {2.16}
$$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

We require that the matrix  $(g_{ij})$  be positive definite so that the inner product  $g(\pmb{v},\pmb{v})$  has the meaning of the squared norm of  $\pmb{v}$ . We also require that the metric be symmetric:  $g_{ij} = g_{ji}$  so that  $g(\pmb{v}_1,\pmb{v}_2) = g(\pmb{v}_2,\pmb{v}_1)$ .

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

Let  $V$  be a vector space over  $\mathbb{C}$ . The inner product of two vectors  $\pmb{v}_1$  and  $\pmb{v}_2$  is defined by

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

>
>
> $$
> g \left(\boldsymbol {v} _ {1}, \boldsymbol {v} _ {2}\right) = \bar {v} _ {1} ^ {i} g _ {i j} v _ {2} ^ {j} \tag {2.20}
> $$

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

Nakahara · second-edition-local · §2.2

where  $\bar{\cdot}$  denotes the complex conjugate. From the positivity and symmetry of the inner product,  $g(\pmb{v}_1,\pmb{v}_2) = \overline{g(\pmb{v}_2,\pmb{v}_1)}$ , the vector space isomorphism  $g:V\to V^{*}$  is required to be a positive-definite Hermitian matrix. Let  $f:V\rightarrow W$  be a (complex) linear map and  $G:W\to W^{*}$  be a vector space isomorphism. The adjoint of  $f$  is defined by  $g(\pmb{v},\tilde{f}\pmb{w}) = \overline{G(\pmb{w},f\pmb{v})}$ . Repeat the analysis to show that

阅读原文位置 · en

阅读原文位置 · zh-CN

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Nakahara · second-edition-local

已登记出处中的最早位置：§1.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.2	zh-CN · 英文上下文	首次提及（不等于定义）
§2.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§5.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§6.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§6.4	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7.1	zh-CN · 英文上下文	定义入口
§7.2	zh-CN · 英文上下文	讨论
§7.9	zh-CN · 英文上下文	讨论
§8.4	zh-CN · 英文上下文	讨论
§8.6	zh-CN · 英文上下文	讨论
§9.3	zh-CN · 英文上下文	讨论
§10.4	zh-CN · 英文上下文	讨论
§12	zh-CN · 英文上下文	讨论
§12.9	zh-CN · 英文上下文	讨论
§14.1	zh-CN · 英文上下文	讨论
§14.2	zh-CN · 英文上下文	讨论

来源短摘录与定位

§1.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

可以在 $H$ 的元素与 $H^{*}$ 的元素之间建立一一对应。固定 $H$ 的一组基 ${∣ e_{k} ⟩}$ 以及 $H^{*}$ 的一组基 ${⟨ ε_{k} ∣}$ 。于是，与 $∣ ψ ⟩ = \sum_{k} ψ_{k} ∣ e_{k} ⟩$ 相对应，存在元素 $⟨ ψ ∣ = \sum_{k} ψ_{k}^{*} ⟨ ε_{k} ∣ \in H^{*}$ 。对 $ψ_{k}$ 取复共轭的原因很快就会清楚。这样便可以在 $H$ 的两个元素之间引入内积。设 $∣ ϕ ⟩, ∣ ψ ⟩ \in H$ ，它们的内积定义为

§2.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

我们有时用记号 $⟨, ⟩ : V^{*} \times V \to K$ 来表示这一内积。

§5.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

其中 $ω_{μ}$ 是 $ω$ 的分量。取一个向量 $V = V^{μ} \partial / \partial x^{μ}$ 和一个1-形式 $ω = ω_{μ} d x^{μ}$ ，内积 $⟨, ⟩ : T_{p}^{*} M \times T_{p} M \to R$ 定义为

§6.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed